Calcule \operatorname{det} A, onde
A=\left[\begin{array}{cccc}3 & -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz A de ordem 4:
A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 & 0 \\[6pt] 0 & 2 & 0 & 1 \\[6pt] 2 & 0 & -1 & 3 \\[6pt] 1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal aqui é o cálculo de determinante por expansão de Laplace, aproveitando linhas ou colunas com zeros para simplificar.]

Passo 2

Escolhemos expandir pela segunda linha, pois ela tem apenas dois elementos não nulos ( a_{22}=2 e a_{24}=1). Assim,
\det A =\sum_{j=1}^4(-1)^{2+j}a_{2j}\det(M_{2j}) =2\cdot\det(M_{22})+1\cdot\det(M_{24}),
já que (-1)^{2+2}=(-1)^{2+4}=1.

Passo 3

Vamos calcular \det(M_{22}). O menor M_{22} é a matriz que sobra ao eliminar linha 2 e coluna 2 de A:
M_{22} =\begin{pmatrix} 3 & 5 & 0\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Usando expansão na primeira linha,
\det(M_{22}) =3\det\!\begin{pmatrix}-1 & 3\\\ 2 & 0\end{pmatrix} -5\det\!\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 1 & 0\end{pmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr) =3\bigl(-1\cdot0-3\cdot2\bigr)-5\bigl(2\cdot0-3\cdot1\bigr) =-18+15=-3.

Passo 4

Agora \det(M_{24}), excluindo linha 2 e coluna 4 de A:
M_{24} =\begin{pmatrix} 3 & -1 & 5\\\\ 2 & 0 & -1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Expansão pela primeira linha dá
\det(M_{24}) =3\det\!\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} -(-1)\det\!\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} +5\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Calculando cada cofator:
3\bigl(0\cdot2-(-1)\cdot1\bigr) +1\bigl(2\cdot2-(-1)\cdot1\bigr) +5\bigl(2\cdot1-0\cdot1\bigr) =3\cdot1+1\cdot5+5\cdot2 =3+5+10=18.

Passo 5

Reunindo os resultados:
\det A =2\cdot\bigl(-3\bigr)+1\cdot(18) =-6+18=12.

Resposta

\det A = 12.

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