\left\{\begin{array}{r} k x+y+z=1 \\\ x+k y+z=1 \\\ x+y+k z=1 \end{array}\right.
Encontre os valores de k \in \mathbb{R} tais que o sistema seja
(a) Possível e determinado.
(b) Possível e indeterminado.
(c) Impossível.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} k x + y + z = 1,\\\ x + k y + z = 1,\\\ x + y + k z = 1, \end{cases}
que é um sistema 3\times3 com parâmetro k. Vamos representá-lo na forma matricial e usar determinante e análise de posto para classificar as soluções.
Passo 2
Definimos a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos independentes b:
A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1\\\\ 1 & k & 1\\\\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
O sistema é A\mathbf{x}=b. Para decidir existência e unicidade, calculamos \det(A).
Passo 3
Fazendo o desenvolvimento por cofactores ou usando a fórmula para matriz com 1 fora da diagonal, obtemos
\det(A) = k^3 - 3k + 2.
Fatorando esse polinômio:
\det(A) = (k-1)^2\,(k+2).
Logo \det(A)\neq0 exatamente quando k\neq1 e k\neq-2. Nesses casos a matriz é invertível e o sistema tem solução única.
Passo 4
Se k=1, a matriz fica
A = \begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ 1&1&1\\\\ 1&1&1 \end{pmatrix},
cujo posto é 1, pois todas as linhas são iguais. O vetor b=(1,1,1)^\top pertence ao espaço gerado por essas linhas. Então \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b)=1<3 e há infinitas soluções.