(integral com módulo)
\int_{0}^{4} x^{2}|x-2| d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{4} x^{2}\,\lvert x-2\rvert \,dx
Aqui estamos lidando com uma integral definida de uma função que envolve valor absoluto. Para resolver, precisamos identificar onde o argumento do módulo muda de sinal e, então, dividir a integral nesses pontos.

Passo 2

O ponto em que x-2 muda de sinal é x=2. Para 0\le x<2, temos x-2<0 e, portanto,
\lvert x-2\rvert = -(x-2) = 2 - x.
Já para 2\le x\le4, x-2\ge0 e
\lvert x-2\rvert = x - 2.
Logo a integral se separa em
\int_{0}^{4} x^{2}\lvert x-2\rvert \,dx = \int_{0}^{2} x^{2}(2 - x)\,dx + \int_{2}^{4} x^{2}(x - 2)\,dx.

Passo 3

Agora calculamos a primeira parte
I_{1} = \int_{0}^{2} x^{2}(2 - x)\,dx = \int_{0}^{2} \bigl(2x^{2} - x^{3}\bigr)\,dx.
Uma primitiva de 2x^{2}-x^{3} é
\frac{2x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}.
Avaliando de 0 a 2:
I_{1} = \Bigl[\tfrac{2x^{3}}{3} - \tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2} = \Bigl(\tfrac{2\cdot 8}{3} - \tfrac{16}{4}\Bigr) - 0 = \Bigl(\tfrac{16}{3} - 4\Bigr) = \tfrac{16-12}{3} = \tfrac{4}{3}.

Passo 4

Agora a segunda parte
I_{2} = \int_{2}^{4} x^{2}(x - 2)\,dx = \int_{2}^{4} \bigl(x^{3} - 2x^{2}\bigr)\,dx.
Uma primitiva de x^{3}-2x^{2} é
\frac{x^{4}}{4} - \frac{2x^{3}}{3}.
Avaliando de 2 a 4:
I_{2} = \Bigl[\tfrac{x^{4}}{4} - \tfrac{2x^{3}}{3}\Bigr]_{2}^{4} = \Bigl(\tfrac{256}{4} - \tfrac{2\cdot 64}{3}\Bigr) - \Bigl(\tfrac{16}{4} - \tfrac{2\cdot 8}{3}\Bigr) = \Bigl(64 - \tfrac{128}{3}\Bigr) - \Bigl(4 - \tfrac{16}{3}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{192-128}{3}\Bigr) - \Bigl(\tfrac{12-16}{3}\Bigr) = \tfrac{64}{3} - \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) = \tfrac{68}{3}.

Passo 5

Somando as duas partes:
\int_{0}^{4} x^{2}\lvert x-2\rvert \,dx = I_{1} + I_{2} = \frac{4}{3} + \frac{68}{3} = \frac{72}{3} = 24.

Resposta

24

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