Calcule \operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} x_{n} quando a sequência for convergente ou explique porque é divergente.
\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} é de Cauchy e x_{n k}=\frac{k}{k+1}, k \in \mathbb{N} é uma subsequência de \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Foi dada uma sequência \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R} que é uma sequência de Cauchy.
  • Foi dada uma subsequência x_{n_k} da sequência, com termos
x_{n_k}=\frac{k}{k+1},\qquad k\in\mathbb{N}.
  • O pedido: calcular \operatorname{Lim}_{n\to\infty} x_n quando a sequência for convergente, ou explicar por que diverge.

Passo 2

Lembrando o que significa “sequência de Cauchy” e uma propriedade chave de \mathbb{R}.
  • Definição de Cauchy: \left(x_n\right) é Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que
\text{para todo } m,n\ge N\qquad |x_m-x_n|<\varepsilon.
Isto diz que os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos entre si quando os índices são grandes.
  • Propriedade fundamental do conjunto dos reais: \mathbb{R} é completo, ou seja, toda sequência de Cauchy em \mathbb{R} converge para algum limite em \mathbb{R}.
    Conclusão imediata: como \left(x_n\right) é Cauchy e estamos em \mathbb{R}, a sequência \left(x_n\right) é convergente; existe L\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty} x_n = L.

Passo 3

Calcular o limite da subsequência dada.
  • Escrevemos cada termo de forma mais conveniente:
\frac{k}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}.
  • Quando k\to\infty o termo \dfrac{1}{k+1}\to 0. Logo, pela regra da soma/ diferença de limites,
\lim_{k\to\infty} \frac{k}{k+1} = 1-0 = 1.
Portanto a subsequência \left(x_{n_k}\right) converge para 1.

Passo 4

Relacionar o limite da subsequência com o limite da sequência inteira.
  • Fato útil: se uma sequência \left(x_n\right) converge para L, então toda subsequência também converge para L. (Prova rápida: dado \varepsilon>0, existe N tal que para n\ge N temos |x_n-L|<\varepsilon; índices da subsequência eventualmente excedem N, logo seus termos ficam dentro de \varepsilon de L.)
  • Aplicando isso ao nosso caso: já sabemos que a sequência inteira converge para algum L (Passo 2) e que existe uma subsequência que converge para 1 (Passo 3). Pela unicidade do limite, deve valer L=1. Mais explicitamente: se \lim_{n\to\infty} x_n=L, então \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=L; como já mostramos \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=1, segue L=1.

Passo 5

Conclusão final e interpretação didática.
  • A sequência \left(x_n\right) é Cauchy em \mathbb{R}, logo converge por completude de \mathbb{R}.
  • A subsequência dada converge para 1.
  • Como todo subsequência de uma sequência convergente tem o mesmo limite, o limite da sequência inteira é 1.

Resposta

1

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