Calcule
quando a sequência for convergente ou explique porque é divergente.
é de Cauchy e
é uma subsequência de
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Foi dada uma sequência
que é uma sequência de Cauchy. - Foi dada uma subsequência
da sequência, com termos
- O pedido: calcular
quando a sequência for convergente, ou explicar por que diverge.
Passo 2
Lembrando o que significa “sequência de Cauchy” e uma propriedade chave de
.
- Definição de Cauchy:
é Cauchy se, para todo , existe tal que
Isto diz que os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos entre si quando os índices são grandes.
- Propriedade fundamental do conjunto dos reais:
é completo, ou seja, toda sequência de Cauchy em converge para algum limite em .
Conclusão imediata: comoé Cauchy e estamos em , a sequência é convergente; existe tal que
Passo 3
Calcular o limite da subsequência dada.
- Escrevemos cada termo de forma mais conveniente:
- Quando
o termo . Logo, pela regra da soma/ diferença de limites,
Portanto a subsequência
converge para
.
Passo 4
Relacionar o limite da subsequência com o limite da sequência inteira.
- Fato útil: se uma sequência
converge para , então toda subsequência também converge para . (Prova rápida: dado , existe tal que para temos ; índices da subsequência eventualmente excedem , logo seus termos ficam dentro de de .) - Aplicando isso ao nosso caso: já sabemos que a sequência inteira converge para algum
(Passo 2) e que existe uma subsequência que converge para (Passo 3). Pela unicidade do limite, deve valer . Mais explicitamente: se , então ; como já mostramos , segue .
Passo 5
Conclusão final e interpretação didática.
- A sequência
é Cauchy em , logo converge por completude de . - A subsequência dada converge para
. - Como todo subsequência de uma sequência convergente tem o mesmo limite, o limite da sequência inteira é
.