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(a) Prove que para quaisquer a, b \in \mathbb{R} e \varepsilon>0, se |a-b|<\varepsilon, então |a|<|b|+\varepsilon.
Dica: Escreva |a|=|a+0|=|a-b+b| e use a desigualdade triangular.
(b) Suponha que \operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} x_{n}=L e que |L|<1. Prove que existe um N_{0} \in \mathbb{N} tal que \forall n \geq N_{0} \Rightarrow\left|x_{n}\right|<1.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Vou listar claramente o que cada parte dá e o que pede.
  • Parte (a): dado a,b\in\mathbb{R} e \varepsilon>0, supõe-se |a-b|<\varepsilon. Pede-se provar que |a|<|b|+\varepsilon.
  • Parte (b): supõe-se que a sequência (x_n) converge para L, isto é \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n = L, e que |L|<1. Pede-se provar que existe N_0\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_0, vale |x_n|<1.
Estas são as informações e metas dadas. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Lembraço rápida e didática de uma ferramenta fundamental que vamos usar: a desigualdade triangular. Para quaisquer números reais u e v vale
|u+v|\le |u|+|v|.
O sentido intuitivo: o módulo da soma não é maior que a soma dos módulos (ou seja, somar vetores não aumenta mais do que somar comprimentos). Esta desigualdade é usada para separar termos dentro de um valor absoluto e é muito útil em provas com diferenças e aproximações.

Passo 3

Prova da parte (a).
Queremos mostrar: se |a-b|<\varepsilon então |a|<|b|+\varepsilon.
Começamos escrevendo a como soma envolvendo b:
a = (a-b)+b.
Aplicando a desigualdade triangular com u=a-b e v=b obtemos
|a| = |(a-b)+b| \le |a-b| + |b|.
Pela hipótese temos |a-b|<\varepsilon. Substituindo isso na desigualdade anterior:
|a| \le |a-b| + |b| < \varepsilon + |b|.
Portanto
|a| < |b| + \varepsilon,
que é exatamente o que queríamos provar.
Observação didática: a ideia foi escrever a como a-b+b para poder usar a desigualdade triangular e depois usar a hipótese |a-b|<\varepsilon.

Passo 4

Preparação para a parte (b): relembrando a definição de limite de sequência (em forma \varepsilon- N) e como vamos aplicá-la.
Definição (lembrando): \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n = L significa que para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale |x_n-L|<\varepsilon.
Na parte (b) sabemos que |L|<1. Isso nos dá uma margem para escolher um \varepsilon>0 apropriado: uma escolha natural é a distância de |L| até 1, isto é
\varepsilon_0 := 1 - |L|.
Veja que \varepsilon_0>0 porque |L|<1.

Passo 5

Aplicando a definição de limite com a escolha \varepsilon=\varepsilon_0.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n = L, existe N_0\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_0,
|x_n - L| < \varepsilon_0 = 1 - |L|.
Agora usamos a parte (a) que acabamos de provar, aplicando-a com a=x_n, b=L e \varepsilon=\varepsilon_0. A parte (a) diz que, sempre que |x_n-L|<\varepsilon_0, então
|x_n| < |L| + \varepsilon_0.
Substituindo \varepsilon_0 = 1 - |L| obtemos
|x_n| < |L| + (1 - |L|) = 1.
Portanto, para todo n\ge N_0 temos |x_n|<1, que é exatamente o enunciado da parte (b).

Passo 6

Comentário final didático e encorajador: o argumento da parte (b) é um padrão clássico em análise — escolher \varepsilon como a folga que se tem (aqui 1-|L|) e usar a definição do limite para garantir que os termos da sequência entrem nessa folga a partir de algum N_0. A parte (a) (desigualdade triangular aplicada de forma simples) serve para transformar uma aproximação de x_n a L em uma estimativa para os módulos |x_n|.

Resposta

(a) Prova dada: se |a-b|<\varepsilon então |a|<|b|+\varepsilon.
(b) Existe N_0\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_0, vale |x_n|<1.

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