(2,0 pts)
(a) Prove que para quaisquer
, se
, então
.
Dica: Escreva
e use a desigualdade triangular.
(b) Suponha que
e que
. Prove que existe um
tal que
.
(a) Prove que para quaisquer
(b) Suponha que
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Vou listar claramente o que cada parte dá e o que pede.
-
Parte (a): dado
e , supõe-se . Pede-se provar que . -
Parte (b): supõe-se que a sequência
converge para , isto é , e que . Pede-se provar que existe tal que, para todo , vale .
Estas são as informações e metas dadas. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Lembraço rápida e didática de uma ferramenta fundamental que vamos usar: a desigualdade triangular. Para quaisquer números reais
e
vale
O sentido intuitivo: o módulo da soma não é maior que a soma dos módulos (ou seja, somar vetores não aumenta mais do que somar comprimentos). Esta desigualdade é usada para separar termos dentro de um valor absoluto e é muito útil em provas com diferenças e aproximações.
Passo 3
Prova da parte (a).
Queremos mostrar: se
então
.
Começamos escrevendo
como soma envolvendo
:
Aplicando a desigualdade triangular com
e
obtemos
Pela hipótese temos
. Substituindo isso na desigualdade anterior:
Portanto
que é exatamente o que queríamos provar.
Observação didática: a ideia foi escrever
como
para poder usar a desigualdade triangular e depois usar a hipótese
.
Passo 4
Preparação para a parte (b): relembrando a definição de limite de sequência (em forma
-
) e como vamos aplicá-la.
Definição (lembrando):
significa que para todo
existe
tal que, para todo
, vale
.
Na parte (b) sabemos que
. Isso nos dá uma margem para escolher um
apropriado: uma escolha natural é a distância de
até
, isto é
Veja que
porque
.
Passo 5
Aplicando a definição de limite com a escolha
.
Como
, existe
tal que, para todo
,
Agora usamos a parte (a) que acabamos de provar, aplicando-a com
,
e
. A parte (a) diz que, sempre que
, então
Substituindo
obtemos
Portanto, para todo
temos
, que é exatamente o enunciado da parte (b).
Passo 6
Comentário final didático e encorajador: o argumento da parte (b) é um padrão clássico em análise — escolher
como a folga que se tem (aqui
) e usar a definição do limite para garantir que os termos da sequência entrem nessa folga a partir de algum
. A parte (a) (desigualdade triangular aplicada de forma simples) serve para transformar uma aproximação de
a
em uma estimativa para os módulos
.
Resposta
(a) Prova dada: se
então
.
(b) Existe
tal que, para todo
, vale
.