Calcule
quando a sequência for convergente ou explique porque é divergente.
Passo 1
O enunciado define a sequência
de forma diferente para índices pares e ímpares e pede para calcular o limite quando
ou explicar por que a sequência é divergente. As informações dadas são:
- Para
par: . - Para
ímpar: .
A pergunta é: qual é, caso exista; caso contrário, explicar por que a sequência diverge.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vou usar).
- Quando uma sequência tem duas “ramificações” (aqui, termos com
par e termos com ímpar), o jeito mais direto é estudar as subsequências formadas por esses dois ramos: a subsequência dos termos pares e a subsequência dos termos ímpares. - Fato importante (que vale a pena lembrar e usar na prova): se uma sequência
converge para um limite , então toda subsequência também converge para o mesmo . Logo, se eu encontrar duas subsequências com limites diferentes (ou uma que diverge), isso impede que a sequência original tenha limite.
Vou então calcular o comportamento da subsequência dos pares e da subsequência dos ímpares.
Passo 3
Analisando a subsequência dos índices pares.
- Escrever a subsequência dos pares: para
tomamos . Então os termos pares são
- Intuição:
tende a quando . Vou dar uma prova com a definição - (útil em prova):
Seja. Escolha tal que
Para todo
vale
Isto mostra que
. Em palavras: os termos pares vão para
.
Passo 4
Analisando a subsequência dos índices ímpares.
- Escrever a subsequência dos ímpares: para
tomamos . Então os termos ímpares são
- Intuição:
cresce sem limite quando ; isto é, tende a . Uma demonstração formal do que chamamos "diverge para ":
Seja. Escolha tal que
Para todo
tem-se
. Isso mostra que os termos ímpares ficam maiores que qualquer
dado quando
é grande, ou seja,
Passo 5
Conseguimos duas conclusões sobre os ramos:
- A subsequência dos pares converge para
. - A subsequência dos ímpares diverge para
.
Agora uso o fato-chave mencionado no Passo 2: se a sequência originaltivesse limite finito , todas as subsequências teriam de convergir para esse mesmo . Aqui uma subsequência converge para e outra não converge para um número finito (vai para ), portanto NÃO existe um único que seja limite de todas as subsequências. Logo a sequência original não pode convergir.
Passo 6
Um comentário adicional, útil em prova (atalho rápido): toda sequência convergente é limitada. Mas os termos ímpares
são não-limitados (crescem sem fim), então a sequência inteira não é limitada; portanto não pode convergir. Este argumento é mais curto e muitas vezes suficiente numa prova.
Passo 7
Resumo final (motivação e dica para prova): ao ver uma definição por paridade, sempre examine as subsequências pares e ímpares. Se uma delas diverge ou se tiverem limites diferentes, a sequência original não converge. Você pode usar tanto o argumento de subsequências quanto o argumento da não-limitidade (toda sequência convergente é limitada).