Calcule \operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} x_{n} quando a sequência for convergente ou explique porque é divergente.
x_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}, n \text { par } \\\ n^{2}, n \text { impar }\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a sequência x_{n} de forma diferente para índices pares e ímpares e pede para calcular o limite quando n\to\infty ou explicar por que a sequência é divergente. As informações dadas são:
  • Para n par: x_{n}=\dfrac{1}{n}.
  • Para n ímpar: x_{n}=n^{2}.
    A pergunta é: qual é \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_{n}, caso exista; caso contrário, explicar por que a sequência diverge.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vou usar).
  • Quando uma sequência tem duas “ramificações” (aqui, termos com n par e termos com n ímpar), o jeito mais direto é estudar as subsequências formadas por esses dois ramos: a subsequência dos termos pares e a subsequência dos termos ímpares.
  • Fato importante (que vale a pena lembrar e usar na prova): se uma sequência \{x_n\} converge para um limite L, então toda subsequência também converge para o mesmo L. Logo, se eu encontrar duas subsequências com limites diferentes (ou uma que diverge), isso impede que a sequência original tenha limite.
    Vou então calcular o comportamento da subsequência dos pares e da subsequência dos ímpares.

Passo 3

Analisando a subsequência dos índices pares.
  • Escrever a subsequência dos pares: para k\in\mathbb{N} tomamos n=2k. Então os termos pares são
x_{2k}=\frac{1}{2k}.
  • Intuição: \dfrac{1}{2k} tende a 0 quando k\to\infty. Vou dar uma prova com a definição \varepsilon- N (útil em prova):
    Seja \varepsilon>0. Escolha K tal que
K>\frac{1}{2\varepsilon}.
Para todo k\ge K vale
\frac{1}{2k}\le\frac{1}{2K}<\varepsilon.
Isto mostra que \displaystyle \lim_{k\to\infty} x_{2k}=0. Em palavras: os termos pares vão para 0.

Passo 4

Analisando a subsequência dos índices ímpares.
  • Escrever a subsequência dos ímpares: para k\in\mathbb{N} tomamos n=2k+1. Então os termos ímpares são
x_{2k+1}=(2k+1)^{2}.
  • Intuição: (2k+1)^{2} cresce sem limite quando k\to\infty; isto é, tende a +\infty. Uma demonstração formal do que chamamos "diverge para +\infty":
    Seja M>0. Escolha K tal que
(2K+1)^{2}>M.
Para todo k\ge K tem-se (2k+1)^{2}\ge(2K+1)^{2}>M. Isso mostra que os termos ímpares ficam maiores que qualquer M dado quando k é grande, ou seja,
\lim_{k\to\infty} x_{2k+1}=+\infty.

Passo 5

Conseguimos duas conclusões sobre os ramos:
  • A subsequência dos pares converge para 0.
  • A subsequência dos ímpares diverge para +\infty.
    Agora uso o fato-chave mencionado no Passo 2: se a sequência original \{x_n\} tivesse limite finito L, todas as subsequências teriam de convergir para esse mesmo L. Aqui uma subsequência converge para 0 e outra não converge para um número finito (vai para +\infty), portanto NÃO existe um único L que seja limite de todas as subsequências. Logo a sequência original não pode convergir.

Passo 6

Um comentário adicional, útil em prova (atalho rápido): toda sequência convergente é limitada. Mas os termos ímpares x_{2k+1}=(2k+1)^2 são não-limitados (crescem sem fim), então a sequência inteira não é limitada; portanto não pode convergir. Este argumento é mais curto e muitas vezes suficiente numa prova.

Passo 7

Resumo final (motivação e dica para prova): ao ver uma definição por paridade, sempre examine as subsequências pares e ímpares. Se uma delas diverge ou se tiverem limites diferentes, a sequência original não converge. Você pode usar tanto o argumento de subsequências quanto o argumento da não-limitidade (toda sequência convergente é limitada).

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_{n} não existe (a sequência é divergente).

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