(2,0 pts) Sejam X=(0,1) e Y=[0,1]. Prove que X é um conjunto aberto e que Y é um conjunto compacto.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos no espaço dos números reais (com a topologia/métrica usual):
  • X=(0,1).
  • Y=[0,1].
Pede-se duas coisas:
  1. Mostrar que X é um conjunto aberto.
  2. Mostrar que Y é um conjunto compacto.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: os conjuntos explicitamente. Não há outras hipóteses escondidas (assume-se a topologia usual em \mathbb{R}).

Passo 2

Vamos lembrar a definição de conjunto aberto (de forma simples e prática).
  • Definição: um subconjunto U\subset\mathbb{R} é aberto se, para todo ponto x\in U, existe um \varepsilon>0 tal que o intervalo aberto (x-\varepsilon,x+\varepsilon) está contido em U. Esse intervalo é a bola aberta de raio \varepsilon centrada em x.
Agora aplicamos essa definição a X=(0,1). Pegue um ponto qualquer x\in(0,1). Como x está estritamente entre 0 e 1, tanto a distância de x à borda esquerda quanto à borda direita são positivas:
  • a distância até 0 é x-0=x;
  • a distância até 1 é 1-x.
Defina
\varepsilon = \frac{1}{2}\min\{x,\,1-x\}.
Note que \varepsilon>0 porque tanto x quanto 1-x são positivos. Agora veja o intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon):
  • Pelo modo que escolhemos \varepsilon, temos x-\varepsilon > 0 e x+\varepsilon < 1. Logo
(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset(0,1)=X.
Como x foi um ponto arbitrário de X, mostramos que para todo x\in X existe \varepsilon>0 com a propriedade acima. Pelo critério de abertura, X é aberto.
Observação intuitiva: para qualquer ponto dentro do intervalo (0,1) dá para “colocar um pequeno intervalo” ao redor dele que ainda fica todo dentro de (0,1). Nos pontos 0 e 1 isso não é possível, por isso [0,1] não é aberto — mas a questão pedia só que (0,1) seja aberto.

Passo 3

Agora vamos à noção de compacidade e à estratégia para provar que Y=[0,1] é compacto.
Uma forma padrão e prática de provar compacidade em \mathbb{R} é usar o Teorema de Heine–Borel:
  • Teorema de Heine–Borel (enunciado): um subconjunto K\subset\mathbb{R} é compacto se, e somente se, K é fechado e limitado (bounded).
    Aqui não vamos provar o teorema de Heine–Borel (essa prova é mais longa), mas vamos usá-lo como ferramenta bem conhecida em análise real. Então para aplicar o teorema basta mostrar que Y=[0,1] é fechado e limitado.
Antes de aplicar, lembramos definições:
  • Limitado (bounded): A\subset\mathbb{R} é limitado se existe M>0 tal que |x|\le M para todo x\in A.
  • Fechado: A\subset\mathbb{R} é fechado se o complemento \mathbb{R}\setminus A é aberto (ou equivalentemente, se A contém todas as suas fronteiras/limites).

Passo 4

Mostramos que Y=[0,1] é limitado.
  • Para todo x\in[0,1] vale 0\le x\le 1, logo |x|\le 1. Portanto Y está contido no intervalo [-1,1] (ou, mais diretamente, é limitado por M=1). Concluímos que Y é limitado.

Passo 5

Mostramos que Y=[0,1] é fechado.
Duas maneiras simples; escolho a via do complemento porque é direta.
O complemento de Y em \mathbb{R} é
\mathbb{R}\setminus[0,1)=(-\infty,0)\cup(1,\infty).
Cada um dos intervalos (-\infty,0) e (1,\infty) é um conjunto aberto no sentido usual (para qualquer ponto em (-\infty,0) dá para escolher uma pequena bola centrada nele contida em (-\infty,0), e o mesmo para (1,\infty)). A união de conjuntos abertos é aberta, então (-\infty,0)\cup(1,\infty) é aberta. Portanto o complemento de Y é aberto, ou seja, Y é fechado.
(Como alternativa, poderia-se mostrar que toda sequência em [0,1] que converge tem limite em [0,1], o que também prova que [0,1] é fechado. Mas a via do complemento é mais direta aqui.)

Passo 6

Aplicando Heine–Borel: já que Y=[0,1] é fechado e limitado em \mathbb{R}, o Teorema de Heine–Borel nos garante que Y é compacto.
Breve comentário extra (intuição sobre compacidade): compactez é uma propriedade que, entre outras interpretações, significa “qualquer cobertura por conjuntos abertos admite uma subcobertura finita”. Em \mathbb{R} os conjuntos fechados e limitados são exatamente esses conjuntos que não escapam para o infinito e que contêm suas bordas, por isso são compactos.

Resposta

X=(0,1) é um conjunto aberto.
Y=[0,1] é um conjunto compacto.

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