(2,0 pts) Sejam
e
. Prove que
é um conjunto aberto e que
é um conjunto compacto.
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos no espaço dos números reais (com a topologia/métrica usual):
-
. -
.
Pede-se duas coisas:
- Mostrar que
é um conjunto aberto. - Mostrar que
é um conjunto compacto.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: os conjuntos explicitamente. Não há outras hipóteses escondidas (assume-se a topologia usual em
).
Passo 2
Vamos lembrar a definição de conjunto aberto (de forma simples e prática).
- Definição: um subconjunto
é aberto se, para todo ponto , existe um tal que o intervalo aberto está contido em . Esse intervalo é a bola aberta de raio centrada em .
Agora aplicamos essa definição a
. Pegue um ponto qualquer
. Como
está estritamente entre
e
, tanto a distância de
à borda esquerda quanto à borda direita são positivas:
- a distância até
é ; - a distância até
é .
Defina
Note que
porque tanto
quanto
são positivos. Agora veja o intervalo
:
- Pelo modo que escolhemos
, temos e . Logo
Como
foi um ponto arbitrário de
, mostramos que para todo
existe
com a propriedade acima. Pelo critério de abertura,
é aberto.
Observação intuitiva: para qualquer ponto dentro do intervalo
dá para “colocar um pequeno intervalo” ao redor dele que ainda fica todo dentro de
. Nos pontos 0 e 1 isso não é possível, por isso
não é aberto — mas a questão pedia só que
seja aberto.
Passo 3
Agora vamos à noção de compacidade e à estratégia para provar que
é compacto.
Uma forma padrão e prática de provar compacidade em
é usar o Teorema de Heine–Borel:
- Teorema de Heine–Borel (enunciado): um subconjunto
é compacto se, e somente se, é fechado e limitado (bounded).
Aqui não vamos provar o teorema de Heine–Borel (essa prova é mais longa), mas vamos usá-lo como ferramenta bem conhecida em análise real. Então para aplicar o teorema basta mostrar queé fechado e limitado.
Antes de aplicar, lembramos definições:
- Limitado (bounded):
é limitado se existe tal que para todo . - Fechado:
é fechado se o complemento é aberto (ou equivalentemente, se contém todas as suas fronteiras/limites).
Passo 4
Mostramos que
é limitado.
- Para todo
vale , logo . Portanto está contido no intervalo (ou, mais diretamente, é limitado por ). Concluímos que é limitado.
Passo 5
Mostramos que
é fechado.
Duas maneiras simples; escolho a via do complemento porque é direta.
Duas maneiras simples; escolho a via do complemento porque é direta.
O complemento de
em
é
Cada um dos intervalos
e
é um conjunto aberto no sentido usual (para qualquer ponto em
dá para escolher uma pequena bola centrada nele contida em
, e o mesmo para
). A união de conjuntos abertos é aberta, então
é aberta. Portanto o complemento de
é aberto, ou seja,
é fechado.
(Como alternativa, poderia-se mostrar que toda sequência em
que converge tem limite em
, o que também prova que
é fechado. Mas a via do complemento é mais direta aqui.)
Passo 6
Aplicando Heine–Borel: já que
é fechado e limitado em
, o Teorema de Heine–Borel nos garante que
é compacto.
Breve comentário extra (intuição sobre compacidade): compactez é uma propriedade que, entre outras interpretações, significa “qualquer cobertura por conjuntos abertos admite uma subcobertura finita”. Em
os conjuntos fechados e limitados são exatamente esses conjuntos que não escapam para o infinito e que contêm suas bordas, por isso são compactos.