- Calcule os resíduos da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular os resíduos de
nos seus polos (isto é, os valores
para cada singularidade
de
).
Informação disponível: a função racional .
Informação disponível: a função racional
Passo 2
Encontrar as singularidades: resolver
, isto é
. Podemos escrever as raízes usando a fatoração
As raízes são
(da fator
) e as raízes da quadrática
. Resolver a quadrática:
Portanto os polos são
Passo 3
Tipo dos polos: como
tem raízes distintas, cada polo é simples (multiplicidade 1). Para um polo simples
a fórmula prática para o resíduo é
Passo 4
Fórmula útil e forma simplificada: se
e
com
(zero simples), então
Aqui
, logo
. Assim
Passo 5
Calcular
explicitamente:
Logo para cada polo
basta calcular
e tirar o inverso.
Passo 6
Residuo em
:
Residuo em
. Primeiro calcular
. Seja
e
, então
Calcule:
Portanto
Multiplicando por
:
Invertendo para obter o resíduo:
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
:
Assim
Residuo em
: como
é o conjugado de
, a conta análoga dá o conjugado do resíduo anterior:
Passo 7
Verificação rápida (checagem): a soma dos resíduos finitos deve ser zero para esta função (pelo comportamento no infinito), então
o que confirma consistência dos cálculos.