1. Calcule os resíduos da função f(z)=1 /\left(z^{3}+1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(z)=\dfrac{1}{z^{3}+1} e pede para calcular os resíduos de f nos seus polos (isto é, os valores \operatorname{Res}(f,z_{0}) para cada singularidade z_{0} de f).
Informação disponível: a função racional f(z)=1/(z^{3}+1).

Passo 2

Encontrar as singularidades: resolver z^{3}+1=0, isto é z^{3}=-1. Podemos escrever as raízes usando a fatoração
z^{3}+1=(z+1)(z^{2}-z+1).
As raízes são z=-1 (da fator z+1) e as raízes da quadrática z^{2}-z+1=0. Resolver a quadrática:
z=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Portanto os polos são
z_{1}=-1,\qquad z_{2}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2},\qquad z_{3}=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Tipo dos polos: como z^{3}+1 tem raízes distintas, cada polo é simples (multiplicidade 1). Para um polo simples z_{0} a fórmula prática para o resíduo é
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})\,f(z).

Passo 4

Fórmula útil e forma simplificada: se f(z)=\dfrac{1}{g(z)} e g(z_{0})=0 com g'(z_{0})\neq0 (zero simples), então
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\frac{1}{g'(z_{0})}.
Aqui g(z)=z^{3}+1, logo g'(z)=3z^{2}. Assim
\operatorname{Res}\bigl(f,z_{0}\bigr)=\frac{1}{3z_{0}^{2}}.

Passo 5

Calcular g'(z) explicitamente:
g'(z)=\frac{d}{dz}(z^{3}+1)=3z^{2}.
Logo para cada polo z_{0} basta calcular 3z_{0}^{2} e tirar o inverso.

Passo 6

Residuo em z_{1}=-1:
3z_{1}^{2}=3(-1)^{2}=3, \qquad \operatorname{Res}(f,-1)=\frac{1}{3}.
Residuo em z_{2}=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}. Primeiro calcular z_{2}^{2}. Seja a=\dfrac{1}{2} e b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, então
z_{2}=a+ib,\qquad z_{2}^{2}=a^{2}-b^{2}+i(2ab).
Calcule:
a^{2}=\frac{1}{4},\qquad b^{2}=\frac{3}{4},\qquad a^{2}-b^{2}=-\frac{1}{2}, \qquad 2ab=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
z_{2}^{2}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.
Multiplicando por 3:
3z_{2}^{2}=-\frac{3}{2}+i\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\bigl(-1+i\sqrt{3}\bigr).
Invertendo para obter o resíduo:
\operatorname{Res}\bigl(f,z_{2}\bigr)=\frac{1}{3z_{2}^{2}} =\frac{1}{\tfrac{3}{2}(-1+i\sqrt{3})} =\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{-1+i\sqrt{3}}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado -1-i\sqrt{3}:
\operatorname{Res}\bigl(f,z_{2}\bigr)=\frac{2}{3}\cdot\frac{-1-i\sqrt{3}}{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}} =\frac{2}{3}\cdot\frac{-1-i\sqrt{3}}{1+3} =\frac{2}{3}\cdot\frac{-1-i\sqrt{3}}{4} =\frac{1}{6}\bigl(-1-i\sqrt{3}\bigr).
Assim
\operatorname{Res}\bigl(f,\tfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\bigr)=-\frac{1}{6}-i\frac{\sqrt{3}}{6}.
Residuo em z_{3}=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}: como z_{3} é o conjugado de z_{2}, a conta análoga dá o conjugado do resíduo anterior:
\operatorname{Res}\bigl(f,z_{3}\bigr)=-\frac{1}{6}+i\frac{\sqrt{3}}{6}.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): a soma dos resíduos finitos deve ser zero para esta função (pelo comportamento no infinito), então
\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{6}-i\frac{\sqrt{3}}{6}\right)+\left(-\frac{1}{6}+i\frac{\sqrt{3}}{6}\right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0,
o que confirma consistência dos cálculos.

Resposta

\operatorname{Res}\bigl(f,-1\bigr)=\dfrac{1}{3}
\operatorname{Res}\!\left(f,\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{1}{6}-i\dfrac{\sqrt{3}}{6}
\operatorname{Res}\!\left(f,\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{1}{6}+i\dfrac{\sqrt{3}}{6}

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