Calcule |2 u+4 v|^2, sabendo que |u|=1,|v|=2, e a medida en radianos do ângulo entre u e v e 2 pi3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular l|2vec u + 4vec vr|^2, sabendo que |vec u|=1, |vec v|=2 e o ângulo entre vec u e vec v é theta = tfrac2pi3. Vamos usar a identidade de produto escalar para norma:
l|vec a + vec br|^2 = |vec a|^2 + |vec b|^2 + 2,vec acdotvec b

Passo 2

Primeiro, calculemos as normas individuais:
|;2vec u;|^2 = 2^2,|vec u|^2 = 4cdot1 = 4,
|;4vec v;|^2 = 4^2,|vec v|^2 = 16cdot4 = 64

Passo 3

Agora, o produto escalar vec ucdotvec v vem de
vec ucdot vec v = |vec u|,|vec v|costheta = 1cdot2cdotcos!l(tfrac2pi3r) = 2cdotl(-tfrac12r) = -1

Passo 4

Aplicando a identidade em vec a = 2vec u e vec b = 4vec v:
l|2vec u + 4vec vr|^2 = |;2vec u;|^2 + |;4vec v;|^2 + 2,(2vec u)cdot(4vec v) = 4 + 64 + 2cdot8,(vec ucdotvec v)
Como vec ucdotvec v=-1, temos
2cdot8,(vec ucdotvec v) = 16cdot(-1) = -16
Portanto
l|2vec u + 4vec vr|^2 = 4 + 64 - 16 = 52

Resposta

52

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