Mostre que
As diagonais de um quadrado são perpendiculares.
Sugestão: Mostre que e use a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Passo 1
O problema quer mostrar que, num quadrado, as duas diagonais são perpendiculares. Vamos usar geometria vetorial: representamos dois lados adjacentes do quadrado pelos vetores e . Sabemos que num quadrado esses vetores têm mesmo comprimento e formam ângulo reto entre si. Para concluir que as diagonais são perpendiculares, é suficiente mostrar que o produto escalar dos vetores que representam as diagonais é zero.
Passo 2
Primeiro, provamos a identidade sugerida. Para quaisquer vetores , pela definição de produto escalar:
Passo 3
O teorema de Cauchy–Schwarz afirma que, para quaisquer vetores ,
Essa desigualdade garante, em particular, que o produto escalar só se anula exatamente quando os vetores são perpendiculares ou quando um deles é o vetor nulo.
Passo 4
Escolhemos um vértice do quadrado como origem. Sejam e v=AD.
Como é quadrado,
|u|=|v|eucdotv=0
As diagonais AC e BD são dadas pelos vetores
AC=u+v, BD=AD-AB=v-u
Passo 5
Basta então calcular o produto escalar entre as diagonais: