Mostre que
As diagonais de um quadrado são perpendiculares.
Sugestão: Mostre que |u+v|^2=|u|^2+2 u cdot v+|v|^2 e use a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 1

O problema quer mostrar que, num quadrado, as duas diagonais são perpendiculares. Vamos usar geometria vetorial: representamos dois lados adjacentes do quadrado pelos vetores u e v. Sabemos que num quadrado esses vetores têm mesmo comprimento e formam ângulo reto entre si. Para concluir que as diagonais são perpendiculares, é suficiente mostrar que o produto escalar dos vetores que representam as diagonais é zero.

Passo 2

Primeiro, provamos a identidade sugerida. Para quaisquer vetores u,vinR^n, pela definição de produto escalar:
|u+v|^2 ;=;(u+v)cdot(u+v) ;=;ucdotu+2,ucdotv+vcdotv ;=;|u|^2+2,ucdotv+|v|^2

Passo 3

O teorema de Cauchy–Schwarz afirma que, para quaisquer vetores u,v,
|ucdotv|;<=;|u|,|v|
Essa desigualdade garante, em particular, que o produto escalar só se anula exatamente quando os vetores são perpendiculares ou quando um deles é o vetor nulo.

Passo 4

Escolhemos um vértice A do quadrado como origem. Sejam
u=AB e v=AD.
Como é quadrado,
|u|=|v|eucdotv=0
As diagonais AC e BD são dadas pelos vetores
AC=u+v, BD=AD-AB=v-u

Passo 5

Basta então calcular o produto escalar entre as diagonais:
(u+v)cdot(v-u) =ucdotv-ucdotu+vcdotv-vcdotu =|v|^2-|u|^2 =0,
pois |u|=|v|. Como o produto escalar é zero, concluímos que as diagonais são perpendiculares.

Resposta

As diagonais de um quadrado são perpendiculares.

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