Considere os pontos A=(1,1,3), B=(-2,2,4), C=(2,-1,5), D=(-6,5,3), E= (-5,3,5) e F=(2,2,2). Verifique, usando as propriedades do produto vetorial, que os pontos:
A, B, C e F não são coplanares.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos A=(1,1,3), B=(-2,2,4), C=(2,-1,5) e F=(2,2,2) são coplanares. Em geometria no espaço, quatro pontos são coplanares se, e somente se, o produto misto (ou triplo escalar) entre os vetores AB, AC e AF for zero.

Passo 2

Primeiro, formamos os vetores a partir de A:
AB = B - A = (-2-1,;2-1,;4-3) = (-3,,1,,1),
AC = C - A = (2-1,;-1-1,;5-3) = (1,,-2,,2),
AF = F - A = (2-1,;2-1,;2-3) = (1,,1,,-1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ABtimesAC. Usando o determinante,
ABtimesAC = i & j & k -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 = l(1cdot2 - 1cdot(-2),;-l(-3cdot2 - 1cdot1r),;-3cdot(-2) - 1cdot1r) = (4,,7,,5)

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar desse resultado com AF:
(ABtimesAC)cdotAF = (4,,7,,5)cdot(1,,1,,-1) = 4cdot1 + 7cdot1 + 5cdot(-1) = 4 + 7 - 5 = 6
Como o produto misto é diferente de zero, concluímos que os quatro pontos não estão em um mesmo plano.

Resposta

Os pontos A, B, C e F não são coplanares, pois o produto misto vale 6neq0.

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