Calcule |\mathbf{b} \times \mathbf{c}| se
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}
\mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede o módulo do produto vetorial entre \mathbf{b} e \mathbf{c}. Dados fornecidos:
  • \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k} (apenas informado, não será necessário aqui).
  • \mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}.
  • \mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}.
O que precisa ser encontrado:
  • Calcular \lvert \mathbf{b}\times\mathbf{c}\rvert.

Passo 2

Relembrando o conceito e a fórmula que vamos usar (aula rapidinha e direta): o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} entre dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor perpendicular a ambos, cuja componente pode ser calculada por uma determinante 3×3 com as bases \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.
Na prática isso dá as componentes:
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \big( u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1 \big).
O módulo do produto vetorial é
\lvert \mathbf{u}\times\mathbf{v}\rvert = \sqrt{(u_2 v_3 - u_3 v_2)^2 + (u_3 v_1 - u_1 v_3)^2 + (u_1 v_2 - u_2 v_1)^2 }.
Também vale a relação geométrica \lvert \mathbf{u}\times\mathbf{v}\rvert = \lvert \mathbf{u}\rvert\,\lvert \mathbf{v}\rvert\,\sin\theta, mas aqui vamos usar o cálculo direto pelas componentes (mais simples para uma prova).

Passo 3

Extrair as componentes dos vetores \mathbf{b} e \mathbf{c} a partir do enunciado:
\mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{b}=(3,\,-2,\,1).
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{c}=(0,\,1,\,-5).
(A componente x de \mathbf{c} é 0 porque não há \mathbf{i} na expressão de \mathbf{c}.)

Passo 4

Calcular a componente x (na direção \mathbf{i}) de \mathbf{b}\times\mathbf{c} usando a fórmula u_2 v_3 - u_3 v_2:
(\mathbf{b}\times\mathbf{c})_x = (-2)\cdot(-5) - 1\cdot 1 = 10 - 1 = 9.

Passo 5

Calcular a componente y (na direção \mathbf{j}) usando u_3 v_1 - u_1 v_3:
(\mathbf{b}\times\mathbf{c})_y = 1\cdot 0 - 3\cdot(-5) = 0 - (-15) = 15.
(Observação: na expansão pelo determinante aparece um sinal negativo para a coluna de \mathbf{j}, e a fórmula acima já incorpora isso corretamente.)

Passo 6

Calcular a componente z (na direção \mathbf{k}) usando u_1 v_2 - u_2 v_1:
(\mathbf{b}\times\mathbf{c})_z = 3\cdot 1 - (-2)\cdot 0 = 3 - 0 = 3.
Portanto
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = 9\mathbf{i} + 15\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (9,\,15,\,3).

Passo 7

Calcular o módulo de \mathbf{b}\times\mathbf{c} pela raiz da soma dos quadrados das componentes:
\lvert \mathbf{b}\times\mathbf{c}\rvert = \sqrt{9^{2} + 15^{2} + 3^{2}} = \sqrt{81 + 225 + 9} = \sqrt{315}.
Simplificando \sqrt{315}: como 315 = 9\cdot 35,
\sqrt{315} = \sqrt{9\cdot 35} = 3\sqrt{35}.
Uma verificação rápida: (9,15,3)=3(3,5,1) e \lvert 3(3,5,1)\rvert = 3\sqrt{3^{2}+5^{2}+1^{2}}=3\sqrt{35}, bate com o resultado acima.

Resposta

3\sqrt{35}

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