Calcule
|rrrrr 3 & 2 & 3 & -4 & 2 0 & 5 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 2 & 1 0 & -5 & 3 & 1 & 4 0 & 1 & 0 & -1 & 2 |

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = 3 & 2 & 3 & -4 & 2 0 & 5 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 2 & 1 0 & -5 & 3 & 1 & 4 0 & 1 & 0 & -1 & 2
O conteúdo principal aqui é o uso da expansão de Laplace (cofatores) para aproveitar as muitas entradas zero e simplificar o cálculo.

Passo 2

Vamos expandir o determinante de A pela primeira coluna. Como só o elemento a11=3 é não nulo nessa coluna, temos
det(A) = 3 cdot C11,
onde C11 é o cofator associado à posição (1,1). Esse cofator é +1 vezes o determinante da submatriz que sobra ao eliminar a primeira linha e primeira coluna. Logo
det(A) = 3 cdot det 5 & 0 & 0 & 0 4 & 0 & 2 & 1 -5 & 3 & 1 & 4 1 & 0 & -1 & 2
Chamemos essa 4times4 de M.

Passo 3

Para calcular det(M), note que na primeira linha de M m11=5 é não nulo. Expandindo por ela,
det(M) = 5 cdot D11,
com D11 sendo o cofator na posição (1,1) de M. Eliminando a primeira linha e a primeira coluna de M, sobra a matriz
N = 0 & 2 & 1 3 & 1 & 4 0 & -1 & 2 ,
então
det(M) = 5 cdot det(N)

Passo 4

Falta agora det(N). Usando expansão pelo primeira coluna de N, só o elemento n21=3 é não zero ali, com sinal de cofator (-1)^2+1=-1. Logo
det(N) = -3 cdot det 2 & 1 -1 & 2 = -3 l(2cdot2 - 1cdot(-1)r) = -3 cdot 5 = -15

Passo 5

Agora voltamos:
det(M) = 5 cdot det(N) = 5 cdot (-15) = -75,
e então
det(A) = 3 cdot det(M) = 3 cdot (-75) = -225

Resposta

-225

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