Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
V=R^3
a) W=(x, y, z) in R^3 ; y <= 0.
b) W=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2 <= 1.
c) W=(x, y, z) in R^3 ; z=0.
d) W=Q^3 (Q é o conjunto dos racionais ).
e) W=(x, y, z) in R^3 ; x y=1.
f) f) W=(x, y, z) in R^3 ; y=x^2.

Passo 1

O enunciado pede para cada subconjunto Wsubseteq V verificar se ele é subespaço de V=R^3. Para isso usamos o critério clássico de subespaço vetorial:
  1. 0=(0,0,0)in W.
  2. Se u,vin W então u+vin W.
  3. Se vin W e alphainR então alpha vin W.

Passo 2

(a) W=(x,y,z)inR^3; y<=0.
  • 0 satisfaz 0<=0, logo está em W.
  • Mas pegue v=(1,-1,0)in W pois -1<=0. Para alpha=-1 temos alpha v=(-1,1,0) com y=1>0, ou seja alpha vnotin W.
    Logo não há fecho em multiplicação por escalar e W não é subespaço.

Passo 3

(b) W=(x,y,z)inR^3; x^2+y^2+z^2<=1.
  • 0 tem norma 0<=1, entra em W.
  • Mas u=(1,0,0) e v=(0,1,0) estão em W e
u+v=(1,1,0),|u+v|=raiz2>1,
então u+vnotin W.
Logo falha o fecho na soma e W não é subespaço.

Passo 4

(c) W=(x,y,z)inR^3; z=0.
  • 0 tem z=0.
  • Se u=(x1,y1,0) e v=(x2,y2,0), então u+v=(x1+x2,y1+y2,0).
  • Para qualquer alpha, alpha u=(alpha x1,alpha y1,0).
    Ambas as operações preservam z=0, logo W satisfaz todos os critérios e é subespaço.

Passo 5

(d) W=Q^3.
  • 0in W.
  • Soma de vetores racionais é racional, então fecham-se em adição.
  • Mas para v=(1,0,0)in W e alpha=raiz2notinQ temos alpha v=(raiz2,0,0)notinQ^3.
    Logo falha o fecho por escalares reais e W não é subespaço.

Passo 6

(e) W=(x,y,z)inR^3; xy=1.
  • 0=(0,0,0) não satisfaz 0cdot0=1.
    Logo nem o zero está em W e W não é subespaço.

Passo 7

(f) W=(x,y,z)inR^3; y=x^2.
  • 0 satisfaz 0=0^2.
  • Mas u=(1,1,0) e v=(2,4,0) estão em W, e
u+v=(3,5,0),5neq3^2=9,
então u+vnotin W.
Logo falha o fecho na soma e W não é subespaço.

Resposta

a) Não
b) Não
c) Sim
d) Não
e) Não
f) Não

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