Verifique em cada item a seguir se
é um subespaço vetorial de
.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
é o conjunto dos racionais
.
e)
.
f) f)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f) f)
Passo 1
O enunciado pede para cada subconjunto
verificar se ele é subespaço de
. Para isso usamos o critério clássico de subespaço vetorial:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
(a)
.
-
satisfaz , logo está em . - Mas pegue
pois . Para temos com , ou seja .
Logo não há fecho em multiplicação por escalar enão é subespaço.
Passo 3
(b)
.
-
tem norma , entra em . - Mas
e estão em e
então
.
Logo falha o fecho na soma e não é subespaço.
Logo falha o fecho na soma e
Passo 4
(c)
.
-
tem . - Se
e , então . - Para qualquer
, .
Ambas as operações preservam, logo satisfaz todos os critérios e é subespaço.
Passo 5
(d)
.
-
. - Soma de vetores racionais é racional, então fecham-se em adição.
- Mas para
e temos .
Logo falha o fecho por escalares reais enão é subespaço.
Passo 6
(e)
.
-
não satisfaz .
Logo nem o zero está eme não é subespaço.
Passo 7
(f)
.
-
satisfaz . - Mas
e estão em , e
então
.
Logo falha o fecho na soma e não é subespaço.
Logo falha o fecho na soma e
Resposta
a) Não
b) Não
c) Sim
d) Não
e) Não
f) Não
b) Não
c) Sim
d) Não
e) Não
f) Não