Calcule a outra integral iterada correspondente à integral dupla do exemplo considerado no texto (ou seja, calcule diretamente \int_{1}^{2}\left[\int_{0}^{\pi} y \operatorname{sen}(x y) d y\right] d x ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{2}\Bigl[\int_{0}^{\pi}y\sin(xy)\,dy\Bigr]dx,
isto é, primeiro integrar em y (usando integração por partes) e depois em x.

Passo 2

Para a integral interna
\int_{0}^{\pi}y\sin(xy)\,dy
façamos
u=y,\quad dv=\sin(xy)\,dy \;\Longrightarrow\; du=dy,\quad v=-\frac{\cos(xy)}{x}.
Logo, por partes,
\int_{0}^{\pi}y\sin(xy)\,dy =-\frac{y\cos(xy)}{x}\Big|_{0}^{\pi} +\frac{1}{x}\int_{0}^{\pi}\cos(xy)\,dy =-\frac{\pi\cos(\pi x)}{x}+\frac{\sin(\pi x)}{x^{2}}.

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral externa, obtemos
\int_{1}^{2}\Bigl[-\frac{\pi\cos(\pi x)}{x}+\frac{\sin(\pi x)}{x^{2}}\Bigr]dx.

Passo 4

Note que
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\sin(\pi x)}{x}\Bigr) =\frac{\pi x\cos(\pi x)-\sin(\pi x)}{x^{2}} =\frac{\pi\cos(\pi x)}{x}-\frac{\sin(\pi x)}{x^{2}},
ou seja, o integrando é
-\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\sin(\pi x)}{x}\Bigr).

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{2}-\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\sin(\pi x)}{x}\Bigr)\,dx =-\Bigl[\frac{\sin(\pi x)}{x}\Bigr]_{1}^{2} =-\Bigl(\frac{\sin(2\pi)}{2}-\frac{\sin(\pi)}{1}\Bigr) =0.

Resposta

0

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