\int_{R}^{R}|\cos (x y)| d A, em que R é o quadrado [0, \pi] \times[0, \pi].
Nota. O cálculo envolverá a função seno integral, a qual é definida por S i(z)= \int_{0}^{z} \frac{\operatorname{sen} x}{x} d x. Ela é frequentemente usada em processamento de sinais, onde suas oscilações podem causar artefatos. De modo geral, pode ser calculada apenas numericamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \bigl|\cos(xy)\bigr|\,dA,
onde R=[0,\pi]\times[0,\pi]. O conteúdo envolve integração dupla e uso de séries de Fourier para a função periódica \bigl|\cos t\bigr|, além da definição da função seno integral
Si(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin x}{x}\,dx.

Passo 2

Primeiro, lembramos a expansão em série de Fourier de \bigl|\cos t\bigr|, válida para todo t:
\bigl|\cos t\bigr| =\frac{2}{\pi} -\frac{4}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{4m^{2}-1}\,\cos(2m\,t).
Logo,
\bigl|\cos(xy)\bigr| =\frac{2}{\pi} -\frac{4}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{4m^{2}-1}\,\cos\bigl(2m\,x y\bigr).

Passo 3

Usamos a linearidade da integral e Fubini para trocar soma e integral:
\iint_{R}\bigl|\cos(xy)\bigr|\,dA =\frac{2}{\pi}\iint_{R}1\,dA -\frac{4}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{4m^{2}-1} \iint_{R}\cos\bigl(2m\,x y\bigr)\,dA.
A área de R é \pi^{2}, então o primeiro termo vale \tfrac{2}{\pi}\,\pi^{2}=2\pi.

Passo 4

Falta avaliar
I_{m} =\iint_{0\le x,y\le\pi}\cos\bigl(2m\,x y\bigr)\,dx\,dy.
Integramos primeiro em x:
\int_{0}^{\pi}\cos\bigl(2m\,x y\bigr)\,dx =\left[\frac{\sin(2m\,x y)}{2m\,y}\right]_{x=0}^{x=\pi} =\frac{\sin(2m\pi\,y)}{2m\,y}.
Agora em y:
I_{m} =\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(2m\pi\,y)}{2m\,y}\,dy =\frac{1}{2m}\int_{0}^{2m\pi^{2}}\frac{\sin u}{u}\,du =\frac{1}{2m}\,Si\bigl(2m\pi^{2}\bigr),
onde fizemos u=2m\pi\,y.

Passo 5

Reunindo tudo,
\iint_{R}\bigl|\cos(xy)\bigr|\,dA =2\pi -\frac{4}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{4m^{2}-1}\, I_{m} =2\pi -\frac{4}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{4m^{2}-1}\, \frac{Si(2m\pi^{2})}{2m}.
Simplificando o fator \tfrac{4}{\pi}\cdot\tfrac{1}{2m}=\tfrac{2}{m\pi}, obtemos a expressão final em séries:

Resposta

\boxed{ \iint_{R}\bigl|\cos(xy)\bigr|\,dA =2\pi -\frac{2}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m\,(4m^{2}-1)}\, Si\bigl(2m\pi^{2}\bigr). }
Essa fórmula envolve a função seno integral e, em geral, é avaliada numericamente.

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