(1,0 pt.) Entre todas as curvas de comprimento l no semiplano superior passando pelos pontos (-a, 0) e (a, 0), encontre aquela que junto com o intervalo [-a, a] abrange a maior área. Estamos procurando a função y=y(x) para a qual a integral
J[y]=\int_{-a}^{a} y d x
leva o maior valor sujeito às condições
y(-a)=y(a)=0, \quad K[y]=\int_{-a}^{a} \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x=l

Passo 1

O enunciado pede a curva y=y(x) que maximiza a área
J[y]=\int_{-a}^{a}y\,dx
sob o comprimento fixo
K[y]=\int_{-a}^{a}\sqrt{1+y^{\prime2}}\,dx=l
e com as condições de contorno y(-a)=y(a)=0. O tipo de problema é isoperimétrico em cálculo das variações, e vamos usar multiplicador de Lagrange para incorporar a restrição de comprimento.

Passo 2

Formamos o funcional com Lagrangeano
F\bigl(x,y,y'\bigr)=y+\lambda\sqrt{1+y'^2},
onde \lambda é o multiplicador. A condição de Euler–Lagrange
\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{\partial F}{\partial y'}\Bigr)=0
1-\frac{d}{dx}\!\Bigl(\lambda\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=x+C_1.
Pela simetria em x=0 concluímos C_1=0, logo
\lambda\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=x.

Passo 3

Isolamos y':
y'^2=\frac{x^2}{\lambda^2-x^2},
logo
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sqrt{\lambda^2-x^2}} \quad\Longrightarrow\quad y(x)=-\sqrt{\lambda^2-x^2}+A,
onde A é constante de integração.

Passo 4

Impondo y(\pm a)=0 obtemos
0=-\sqrt{\lambda^2-a^2}+A \quad\Longrightarrow\quad A=\sqrt{\lambda^2-a^2}.
Portanto
y(x)=\sqrt{\lambda^2-a^2}\;-\;\sqrt{\lambda^2-x^2},
que é um arco de círculo de raio \lambda e centro em \bigl(0,\sqrt{\lambda^2-a^2}\bigr).

Passo 5

Falta ajustar \lambda para que o comprimento seja l:
\sqrt{1+y'^2} =\frac{\lambda}{\sqrt{\lambda^2-x^2}},
então
l=\int_{-a}^{a}\frac{\lambda}{\sqrt{\lambda^2-x^2}}\,dx =2\lambda\arcsin\!\Bigl(\frac{a}{\lambda}\Bigr).
Assim \lambda satisfaz implicitamente
l=2\lambda\arcsin\!\Bigl(\tfrac{a}{\lambda}\Bigr),
com \lambda>a.

Resposta

A curva que maximiza a área é o arco de círculo de raio \lambda dado por
y(x)=\sqrt{\lambda^2-a^2}\;-\;\sqrt{\lambda^2-x^2},
em que \lambda é a solução de
l=2\,\lambda\,\arcsin\!\bigl(a/\lambda\bigr).

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