(1,0 pt.) Entre todas as curvas de comprimento
no semiplano superior passando pelos pontos
e
, encontre aquela que junto com o intervalo
abrange a maior área. Estamos procurando a função
para a qual a integral
leva o maior valor sujeito às condições
Passo 1
O enunciado pede a curva
que maximiza a área
sob o comprimento fixo
e com as condições de contorno
. O tipo de problema é isoperimétrico em cálculo das variações, e vamos usar multiplicador de Lagrange para incorporar a restrição de comprimento.
Passo 2
Formamos o funcional com Lagrangeano
onde
é o multiplicador. A condição de Euler–Lagrange
dá
Pela simetria em
concluímos
, logo
Passo 3
Isolamos
:
logo
onde
é constante de integração.
Passo 4
Impondo
obtemos
Portanto
que é um arco de círculo de raio
e centro em
.
Passo 5
Falta ajustar
para que o comprimento seja
:
então
Assim
satisfaz implicitamente
com
.
Resposta
A curva que maximiza a área é o arco de círculo de raio
dado por
em que
é a solução de