(1,0 pt.) Para o seguinte funcional determinar a lagrangiana satisfazendo as respectivas condições de fronteira:
V[y(x)]=\int_{-1}^{0}\left(240 y-\left(y^{\prime \prime \prime}\right)^{2}\right) d x ;
y(-1)=1 ; y(0)=0, y^{\prime}(-1)=-4,5, y^{\prime}(0)=0 . y^{\prime \prime}(-1)=16, y^{\prime \prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá o funcional
V[y]=\int_{-1}^{0}\bigl(240\,y - (y^{\prime\prime\prime})^{2}\bigr)\,dx
com as condições de contorno
y(-1)=1,\quad y(0)=0,\quad y'(-1)=-4{,}5,\quad y'(0)=0,\quad y''(-1)=16,\quad y''(0)=0.
O conteúdo é cálculo de variações com dependência até terceira derivada; vamos usar a equação de Euler–Lagrange de ordem seis.

Passo 2

A lagrangiana é
L\bigl(x,y,y',y'',y'''\bigr)=240\,y - \bigl(y'''\bigr)^{2}.

Passo 3

Na forma geral a equação de Euler–Lagrange para dependência até y''' é
\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial y'}\Bigr) + \frac{d^{2}}{dx^{2}}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial y''}\Bigr) - \frac{d^{3}}{dx^{3}}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial y'''}\Bigr) =0.
Aqui \partial L/\partial y=240, \partial L/\partial y'=\partial L/\partial y''=0, \partial L/\partial y'''=-2\,y'''.
Logo a equação fica
240 \;-\;\frac{d^{3}}{dx^{3}}\bigl(-2\,y'''\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad 240 +2\,y^{(6)}=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{(6)}=-120.

Passo 4

Integramos seis vezes y^{(6)}=-120. A solução geral é um polinômio de grau 6:
y(x)=-\tfrac{x^{6}}{6} +\tfrac{C_{1}\,x^{5}}{120} +\tfrac{C_{2}\,x^{4}}{24} +\tfrac{C_{3}\,x^{3}}{6} +\tfrac{C_{4}\,x^{2}}{2} +C_{5}\,x +C_{6}.

Passo 5

Impondo as condições em x=0:
y(0)=0\Rightarrow C_{6}=0,\quad y'(0)=0\Rightarrow C_{5}=0,\quad y''(0)=0\Rightarrow C_{4}=0.
Ficam só C_{1},C_{2},C_{3}.

Passo 6

As condições em x=-1 geram o sistema:
y(-1)=1: \quad -\tfrac{1}{6}-\tfrac{C_{1}}{120}+\tfrac{C_{2}}{24}-\tfrac{C_{3}}{6}=1,
y'(-1)=-4{,}5: \quad 1+\tfrac{C_{1}}{24}-\tfrac{C_{2}}{6}+\tfrac{C_{3}}{2}=-4{,}5,
y''(-1)=16: \quad -5-\tfrac{C_{1}}{6}+\tfrac{C_{2}}{2}-C_{3}=16.

Passo 7

Resolvendo esse sistema obtemos
C_{1}=-120,\quad C_{2}=0,\quad C_{3}=-1.

Passo 8

Substituindo em y(x) chega-se à extremal
y(x) =-\frac{x^{6}}{6} -\;x^{5} -\;\frac{x^{3}}{6}.

Resposta

y(x)=-\frac{x^{6}}{6}-x^{5}-\frac{x^{3}}{6}.

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