(1,0 pt.) Para o seguinte funcional determinar a lagrangiana satisfazendo as respectivas condições de fronteira:
.
Passo 1
O enunciado dá o funcional
com as condições de contorno
O conteúdo é cálculo de variações com dependência até terceira derivada; vamos usar a equação de Euler–Lagrange de ordem seis.
Passo 2
A lagrangiana é
Passo 3
Na forma geral a equação de Euler–Lagrange para dependência até
é
Aqui
,
,
.
Logo a equação fica
Logo a equação fica
Passo 4
Integramos seis vezes
. A solução geral é um polinômio de grau 6:
Passo 5
Impondo as condições em
:
Ficam só
.
Passo 6
As condições em
geram o sistema:
Passo 7
Resolvendo esse sistema obtemos
Passo 8
Substituindo em
chega-se à extremal