Calcule
\overline{(5+\sqrt{2} i)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \overline{(5+\sqrt{2}\,i)^{2}}.
Informações dadas: o número complexo 5+\sqrt{2}\,i e a operação de elevar ao quadrado seguida de conjugação (barra em cima significa conjugado complexo). O objetivo final é obter um número complexo na forma a+bi (ou seja, identificar a parte real e a parte imaginária com sinal adequado).

Passo 2

Entendendo o conjugado: para qualquer número complexo \,a+bi (com a,b reais), o conjugado é
\overline{a+bi}=a-bi.
Isto significa que o conjugado mantém a parte real e troca o sinal da parte imaginária. Exemplo rápido: \overline{3+4i}=3-4i.

Passo 3

Primeira etapa prática: calcular (5+\sqrt{2}\,i)^{2}. Usamos a identidade de expansão (u+v)^{2}=u^{2}+2uv+v^{2} com u=5 e v=\sqrt{2}\,i. Então
(5+\sqrt{2}\,i)^{2}=5^{2}+2\cdot5\cdot(\sqrt{2}\,i)+(\sqrt{2}\,i)^{2}.

Passo 4

Calcule cada termo separadamente:
5^{2}=25,
2\cdot5\cdot(\sqrt{2}\,i)=10\sqrt{2}\,i,
(\sqrt{2}\,i)^{2}=(\sqrt{2})^{2}\cdot i^{2}=2\cdot(-1)=-2,
pois i^{2}=-1. Agora somamos:
(5+\sqrt{2}\,i)^{2}=25+10\sqrt{2}\,i-2=23+10\sqrt{2}\,i.

Passo 5

Agora aplicamos o conjugado ao resultado. Pelo passo 2, basta trocar o sinal da parte imaginária:
\overline{(5+\sqrt{2}\,i)^{2}}=\overline{23+10\sqrt{2}\,i}=23-10\sqrt{2}\,i.

Passo 6

Observação alternativa (útil na prova): a conjugação respeita multiplicação e potências inteiras, isto é,
\overline{z^{2}}=(\overline{z})^{2}.
Aplicando isso diretamente a z=5+\sqrt{2}\,i, temos \overline{z}=5-\sqrt{2}\,i e
(\overline{z})^{2}=(5-\sqrt{2}\,i)^{2}=23-10\sqrt{2}\,i,
confirmando o mesmo resultado.

Resposta

23-10\sqrt{2}\,i

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