Exercício 0.3 Determine dois números complexos que satisfazem a equação
0.
Passo 1
O enunciado pede: determinar dois números complexos
que satisfaçam a equação
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes do polinômio quadrático são
,
e
. A pergunta é encontrar as raízes (os valores de
) que tornam a expressão igual a zero.
Passo 2
Vamos usar a fórmula quadrática — essa é a ferramenta padrão para resolver equações da forma
. A fórmula diz que as raízes são
onde
(o discriminante) é definido por
. Aqui:
-
é o coeficiente de , -
é o coeficiente de , -
é o termo constante.
A interpretação do discriminante: sehá duas raízes reais distintas, se há uma raiz real dupla, e se as raízes são complexas conjugadas (aparecem na forma ).
Passo 3
Calculemos o discriminante substituindo
,
,
:
Agora as contas:
logo
Como
, esperamos duas raízes complexas conjugadas.
Passo 4
Precisamos da raiz quadrada de
. Como
,
Aqui usei a definição da unidade imaginária
tal que
. Simplificando
:
portanto
Passo 5
Substituímos tudo na fórmula quadrática:
Agora simplificamos dividindo numerador e denominador por
(ou dividindo cada termo por
):
Assim obtemos as duas raízes:
Passo 6
Uma verificação rápida usando relações soma-produto das raízes para conferir consistência: para
,
e com nossas raízes
confere. O produto deve ser
. Calculando o produto das raízes dadas:
também confere. Tudo certo!