Exercício 0.3 Determine dois números complexos que satisfazem a equação 2 z^{2}+4 z+5= 0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar dois números complexos z que satisfaçam a equação
2z^{2}+4z+5=0.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes do polinômio quadrático são a=2, b=4 e c=5. A pergunta é encontrar as raízes (os valores de z) que tornam a expressão igual a zero.

Passo 2

Vamos usar a fórmula quadrática — essa é a ferramenta padrão para resolver equações da forma a z^{2}+b z+c=0. A fórmula diz que as raízes são
z=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta (o discriminante) é definido por \Delta=b^{2}-4ac. Aqui:
  • a é o coeficiente de z^{2},
  • b é o coeficiente de z,
  • c é o termo constante.
    A interpretação do discriminante: se \Delta>0 há duas raízes reais distintas, se \Delta=0 há uma raiz real dupla, e se \Delta<0 as raízes são complexas conjugadas (aparecem na forma x\pm i y).

Passo 3

Calculemos o discriminante substituindo a=2, b=4, c=5:
\Delta = b^{2}-4ac = 4^{2}-4\cdot 2\cdot 5.
Agora as contas:
4^{2}=16,\qquad 4\cdot 2\cdot 5=40,
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\Delta = 16-40 = -24.
Como \Delta<0, esperamos duas raízes complexas conjugadas.

Passo 4

Precisamos da raiz quadrada de \Delta. Como \Delta=-24,
\sqrt{\Delta}=\sqrt{-24}=\sqrt{-1}\,\sqrt{24}=i\sqrt{24}.
Aqui usei a definição da unidade imaginária i tal que i^{2}=-1. Simplificando \sqrt{24}:
\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6},
portanto
\sqrt{\Delta}=i\cdot 2\sqrt{6}=2i\sqrt{6}.

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula quadrática:
z=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm 2i\sqrt{6}}{2\cdot 2}=\frac{-4\pm 2i\sqrt{6}}{4}.
Agora simplificamos dividindo numerador e denominador por 2 (ou dividindo cada termo por 4):
\frac{-4\pm 2i\sqrt{6}}{4}=-1\pm \frac{i\sqrt{6}}{2}.
Assim obtemos as duas raízes:
z_{1}=-1+\frac{i\sqrt{6}}{2},\qquad z_{2}=-1-\frac{i\sqrt{6}}{2}.

Passo 6

Uma verificação rápida usando relações soma-produto das raízes para conferir consistência: para a z^{2}+b z+c,
z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{2}=-2,
e com nossas raízes
\left(-1+\frac{i\sqrt{6}}{2}\right)+\left(-1-\frac{i\sqrt{6}}{2}\right)=-2,
confere. O produto deve ser \dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{2}. Calculando o produto das raízes dadas:
\left(-1+\frac{i\sqrt{6}}{2}\right)\left(-1-\frac{i\sqrt{6}}{2}\right)=1-\left(\frac{i\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=1-\left(i^{2}\frac{6}{4}\right)=1-(-1)\frac{6}{4}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2},
também confere. Tudo certo!

Resposta

z=-1+\dfrac{i\sqrt{6}}{2}
z=-1-\dfrac{i\sqrt{6}}{2}

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