Exercício 0.4 Determine um número complexo cujo quadrado seja 21-20 i.

Passo 1

O enunciado pede: determinar um número complexo cuja quadrado seja 21-20i.
Informações dadas: o número complexo procurado z satisfaz
z^{2}=21-20i.

Passo 2

Vamos escrever o número complexo desconhecido na forma padrão com partes reais e imaginárias. Seja z=x+iy, onde x e y são números reais. Aqui x é a parte real e y é a parte imaginária de z. Agora calculamos o quadrado de z para relacioná-lo com 21-20i.

Passo 3

Calculemos (x+iy)^{2}. Usando a expansão de quadrado de binômio e lembrando que i^{2}=-1, temos
(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy+(iy)^{2}=x^{2}+2ixy- y^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy.
Duas partes complexas são iguais se, e só se, suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais. Portanto igualando com 21-20i obtemos o sistema real:
x^{2}-y^{2}=21
2xy=-20.

Passo 4

Da segunda equação temos xy=-10. Observação: x=0 não serve porque implicaria 0\cdot y= -10, impossível; logo x\neq 0 e podemos escrever y=-\dfrac{10}{x}. Substituindo na primeira equação:
x^{2}-\left(-\dfrac{10}{x}\right)^{2}=21.
Isso dá
x^{2}-\dfrac{100}{x^{2}}=21.
Multiplicando ambos os lados por x^{2} (válido porque x\neq 0):
x^{4}-21x^{2}-100=0.

Passo 5

Para resolver essa equação polinomial, faça a substituição u=x^{2}. Então obtemos a equação quadrática
u^{2}-21u-100=0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
u=\dfrac{21\pm\sqrt{21^{2}+4\cdot100}}{2}=\dfrac{21\pm\sqrt{441+400}}{2}=\dfrac{21\pm\sqrt{841}}{2}=\dfrac{21\pm29}{2}.
Isso dá as duas raízes
u_{1}=\dfrac{21+29}{2}=25,\qquad u_{2}=\dfrac{21-29}{2}=-4.
Mas u=x^{2} não pode ser negativo, então descartamos u_{2}. Fica x^{2}=25, portanto
x=\pm 5.

Passo 6

Voltando para y via xy=-10: se x=5 então
y=-\dfrac{10}{5}=-2.
Se x=-5 então
y=-\dfrac{10}{-5}=2.
Assim os dois números complexos que satisfazem são
z_{1}=5-2i\quad\text{e}\quad z_{2}=-5+2i.

Passo 7

Verificação rápida (só para ficar tranquilo): calcule (5-2i)^{2}:
(5-2i)^{2}=25-20i-4=21-20i,
e para (-5+2i)^{2} o resultado é o mesmo. Portanto estão corretos. Observação final: todo número complexo não nulo tem duas raízes quadradas (opostas entre si), e aqui são exatamente essas duas.

Resposta

5-2i
-5+2i

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