Exercício 0.4 Determine um número complexo cujo quadrado seja
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar um número complexo cuja quadrado seja
.
Informações dadas: o número complexo procurado satisfaz
Informações dadas: o número complexo procurado
Passo 2
Vamos escrever o número complexo desconhecido na forma padrão com partes reais e imaginárias. Seja
, onde
e
são números reais. Aqui
é a parte real e
é a parte imaginária de
. Agora calculamos o quadrado de
para relacioná-lo com
.
Passo 3
Calculemos
. Usando a expansão de quadrado de binômio e lembrando que
, temos
Duas partes complexas são iguais se, e só se, suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais. Portanto igualando com
obtemos o sistema real:
Passo 4
Da segunda equação temos
. Observação:
não serve porque implicaria
, impossível; logo
e podemos escrever
. Substituindo na primeira equação:
Isso dá
Multiplicando ambos os lados por
(válido porque
):
Passo 5
Para resolver essa equação polinomial, faça a substituição
. Então obtemos a equação quadrática
Usando a fórmula de Bhaskara,
Isso dá as duas raízes
Mas
não pode ser negativo, então descartamos
. Fica
, portanto
Passo 6
Voltando para
via
: se
então
Se
então
Assim os dois números complexos que satisfazem são
Passo 7
Verificação rápida (só para ficar tranquilo): calcule
:
e para
o resultado é o mesmo. Portanto estão corretos. Observação final: todo número complexo não nulo tem duas raízes quadradas (opostas entre si), e aqui são exatamente essas duas.