Calcule para um óxido hipotético do tipo A X, que possui número de coordenação 6 tanto para os cátions como para os ânions, os seguintes itens:
a) parâmetro de rede em (nm) e (cm)
b) fator de empacotamento iônico FEI em (%)
c) densidade volumétrica em \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}
d) densidade iônica linear para direção [220] em (íons/nm)
e) densidade iônica planar para o plano (220) em (íons/nm²)
Dados:
Raio do cátion é 0,102 \mathrm{~nm}
Raio do ânion é 0,181 \mathrm{~nm}
Acátion = 22,99 uma
Aânion =35,45 \mathrm{uma}
\mathrm{N}_{\mathrm{A}}=6,02 \times 10^{23} \mathrm{~g} / \mathrm{mol}

Passo 1

Temos um óxido hipotético do tipo AX com coordenação 6:6, o que corresponde à estrutura cúbica tipo NaCl (rock‐salt). Para resolver vamos precisar de:
  • a relação entre parâmetro de rede a e raios iônicos (viz., a=2(r_{\mathrm{cat}}+r_{\mathrm{an}}));
  • o fato de que há 4 unidades formulares por célula‐unitária (4 cátions + 4 ânions);
  • fórmula do fator de empacotamento iônico (FEI) como razão entre volume total das esferas iônicas e volume da célula;
  • cálculo de densidade de massa \rho = \frac{\text{massa na célula}}{\text{volume da célula}}éé;
  • definição de densidade linear na direção [220]: número de íons por comprimento de repetição ao longo de [220];
  • definição de densidade planar para o plano (220): número de íons por área de uma célula‐rede no plano, que podemos obter também via \rho_{\text{atômica}} \times d_{220}ô.

Passo 2

Parâmetro de rede:
a = 2\bigl(r_{\mathrm{cat}} + r_{\mathrm{an}}\bigr) = 2\bigl(0,102 + 0,181\bigr)\,\mathrm{nm} = 0,566\,\mathrm{nm}.
Em centímetros:
a = 0,566\times 10^{-7}\,\mathrm{cm} =5,66\times10^{-8}\,\mathrm{cm}.

Passo 3

Fator de empacotamento iônico (FEI) — volume de 4 cátions e 4 ânions dividido por a^3:
\mathrm{FEI} =\frac{4\bigl(\tfrac{4}{3}\pi r_{\mathrm{cat}}^3\bigr) +4\bigl(\tfrac{4}{3}\pi r_{\mathrm{an}}^3\bigr)}{a^3} =\frac{\tfrac{16\pi}{3}(r_{\mathrm{cat}}^3+r_{\mathrm{an}}^3)}{a^3}.
Numericamente, em percentagem:
r_{\mathrm{cat}}^3=0,102^3=0,001061\,\mathrm{nm^3},\quad r_{\mathrm{an}}^3=0,181^3=0,005926\,\mathrm{nm^3},
\mathrm{FEI}=\frac{\tfrac{16\pi}{3}(0,001061+0,005926)}{0,566^3}\approx0,645 \quad\Longrightarrow\quad64,5\%.

Passo 4

Densidade volumétrica \rho:
  • Massa por célula: 4 AX, cada AX com massa molar M=22,99+35,45=58,44,g/mol, logo
m_{\text{cél}}=\frac{4\,M}{N_{\mathrm{A}}} =\frac{4\cdot58,44}{6,02\times10^{23}}\;\mathrm{g} \approx3,88\times10^{-22}\,\mathrm{g}.é
  • Volume da célula: a^3=(5,66\times10^{-8}\,\mathrm{cm})^3\approx1,81\times10^{-22}\,\mathrm{cm^3}.
    Portanto
\rho=\frac{3,88\times10^{-22}}{1,81\times10^{-22}} \approx2,14\;\mathrm{g/cm^3}.

Passo 5

Densidade iônica linear na direção [220]:
  • O vetor de repetição mais curto ao longo de [220] é \vec L = a(2,2,0) de comprimento
L = a\sqrt{2^2+2^2+0^2} = a\sqrt{8} =2\sqrt2\,a.
  • Nesse trecho de comprimento L intersectam‐se exatamente 2 íons (do sub‐rede que integra os íons cujas coordenadas satisfazem x=y,\;z=0).
    Logo densidade linear
\frac{2}{L}=\frac{2}{2\sqrt2\,a}=\frac{1}{\sqrt2\,a} \approx\frac{1}{1,414\cdot0,566}\approx1,25\;\mathrm{íons/nm}.í

Passo 6

Densidade iônica planar para o plano (220):
  • Densidade atômica volumétrica:
n_v=\frac{8\;\text{íons}}{a^3}\quad(\text{4 cátions+4 ânions}).íáâ
  • Espaçamento interplanar (220):
d_{220}=\frac{a}{\sqrt{2^2+2^2+0^2}}=\frac{a}{\sqrt8}=\frac{a}{2\sqrt2}.
  • Então densidade planar
n_p = n_v\,d_{220} =\frac{8}{a^3}\cdot\frac{a}{2\sqrt2} =\frac{4}{\sqrt2\,a^2} =\frac{2\sqrt2}{a^2} \approx\frac{2,828}{(0,566)^2} \approx8,83\;\mathrm{íons/nm^2}.í

Resposta

a) a=0,566\,\mathrm{nm}=5,66\times10^{-8}\,\mathrm{cm}.
b) \mathrm{FEI}=64{,}5\%.
c) \rho=2{,}14\,\mathrm{g/cm^3}.
d) \rho_{\text{lin}}[220]=1{,}25\;\mathrm{íons/nm}.í
e) \rho_{\text{plan}}(220)=8{,}83\;\mathrm{íons/nm^2}.í

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