Calcule partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) para as funções abaixo:
f(x, y)=integral2^x^2+y^2 e^-t^2 d t

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=integral2^,x^2+y^2e^-t^2,dt,
onde o limite superior depende de (x,y) via a função
u(x,y)=x^2+y^2
Para obter as derivadas parciais de f usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a Regra da Cadeia:
se
F(z)=integral2^ze^-t^2,dt,
então
partialpartial xFl(u(x,y)r) = e^-,u(x,y)^2;partial upartial x

Passo 2

Calculamos primeiro partial fpartial x. Note que
u(x,y)=x^2+y^2 Longrightarrow partial upartial x=2x
Aplicando o teorema,
partial fpartial x(x,y) = e^-,l(x^2+y^2r)^2;cdot2x

Passo 3

De modo análogo, para partial fpartial y temos
partial upartial y=2y
e portanto
partial fpartial y(x,y) = e^-,l(x^2+y^2r)^2;cdot2y

Resposta

partial fpartial x(x,y) =2x,e^-,(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =2y,e^-,(x^2+y^2)^2

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