Determine as derivadas parciais das funções abaixo:
[a.] f(x, y)=x^2 ln (1+x^2+y^2)
[b.] f(x, y)=arctan (xy)
[c.] z=x sin ycos (x^2+y^2)
[d.] w=x ycos (x+z)-ln (x^2+y^2+z^2).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de quatro funções de várias variáveis. Vamos usar as regras de derivação parcial: regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia.

Passo 2

Para
f(x,y)=x^2lnl(1+x^2+y^2r),
definimos u(x,y)=x^2 e v(x,y)=lnl(1+x^2+y^2r).
Temos
partial upartial x=2x, partial vpartial x=11+x^2+y^2cdot 2x
pela regra da cadeia. Logo, pela regra do produto,
partial fpartial x =2xlnl(1+x^2+y^2r) + x^2,2x1+x^2+y^2 =2xlnl(1+x^2+y^2r)+2x^31+x^2+y^2
Para partial f/partial y, partial u/partial y=0 e
partial vpartial y =11+x^2+y^2cdot 2y
Logo,
partial fpartial y =x^2cdot2y1+x^2+y^2 =2x^2y1+x^2+y^2

Passo 3

Para
f(x,y)=arctan!l(xyr),
colocamos u=tfracxy. Então
partial fpartial x =11+u^2cdotpartialpartial x!l(xyr) =11+(x/y)^2cdot1y =yx^2+y^2,
e
partial fpartial y =11+(x/y)^2cdotpartialpartial y!l(xyr) =11+(x/y)^2cdotl(-xy^2r) =-xx^2+y^2

Passo 4

Para
z(x,y)=xsin ycosl(x^2+y^2r),
usamos a regra do quociente com N=xsin y e D=cos(x^2+y^2).
Seja M=x^2+y^2. Então
partial Npartial x=sin y, partial Dpartial x=-sin Mcdot 2x,
portanto
partial zpartial x =sin ycdotcos M - (xsin y)cdot(-2xsin M)cos^2M =sin ycos M +2x^2sin ysin Mcos^2M
De modo análogo,
partial Npartial y=xcos y, partial Dpartial y=-sin Mcdot 2y,
logo
partial zpartial y =xcos ycos M +2xysin ysin Mcos^2M

Passo 5

Para
w(x,y,z)=xycos(x+z)-lnl(x^2+y^2+z^2r),
escrevemos a primeira parcela como P=xysec(x+z) e a segunda Q=ln(x^2+y^2+z^2).
Como x,y,z são independentes,
partial Ppartial x =ysec(x+z)+xysec(x+z)tan(x+z)cdotpartialpartial x(x+z) =ysec(x+z)+xysec(x+z)tan(x+z),
partial Qpartial x =1x^2+y^2+z^2cdot 2x =2xx^2+y^2+z^2,
portanto
partial wpartial x =ysec(x+z)+xysec(x+z)tan(x+z) -2xx^2+y^2+z^2
De modo semelhante,
partial wpartial y =xsec(x+z) -2yx^2+y^2+z^2,
partial wpartial z =xysec(x+z)tan(x+z) -2zx^2+y^2+z^2

Resposta

(a) partial fpartial x=2xlnl(1+x^2+y^2r)+2x^31+x^2+y^2, partial fpartial y=2x^2y1+x^2+y^2
(b) partial fpartial x=yx^2+y^2, partial fpartial y=-xx^2+y^2
(c) partial zpartial x =sin ycos(x^2+y^2)+2x^2sin ysin(x^2+y^2)cos^2(x^2+y^2), partial zpartial y =xcos ycos(x^2+y^2)+2xysin ysin(x^2+y^2)cos^2(x^2+y^2)
(d) partial wpartial x =ysec(x+z)+xysec(x+z)tan(x+z) -2xx^2+y^2+z^2,
partial wpartial y =xsec(x+z) -2yx^2+y^2+z^2, partial wpartial z =xysec(x+z)tan(x+z) -2zx^2+y^2+z^2

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