Determine os pontos críticos das seguintes funções;
f(x, y)=x+y sen x;

Passo 1

Temos a função
f(x,y)=x+ysin x
e o objetivo é encontrar os pontos críticos, isto é, os pares (x,y) em que o gradiente de f é nulo. Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x =1 + ycos x,
partial fpartial y =sin x

Passo 3

Para que o gradiente seja zero é necessário
partial fpartial y=0 Longrightarrow sin x = 0 Longrightarrow x = kpi, kinZ

Passo 4

Com x=kpi substituímos em
partial fpartial x=0 Longrightarrow 1 + ycos(kpi)=0 Longrightarrow y = -1cos(kpi)
Como cos(kpi)=(-1)^k, temos
y = -1(-1)^k =(-1)^,k+1

Resposta

Os pontos críticos são
l(kpi,;(-1)^,k+1r), kinZ

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