Considere a função z=x sin (xy). Verifique que
x partial zpartial x+y partial zpartial y=z

Passo 1

O enunciado define
z = x sin!l(xyr)
e pede para verificar que
x partial zpartial x + y partial zpartial y = z
Para isso, vamos calcular primeiro partial z/partial x e partial z/partial y, e depois montar a combinação linear.

Passo 2

Aplicando a regra do produto e a cadeia para derivar z em relação a x, temos
partial zpartial x = partialpartial xl[xr]cdot sin!l(xyr) + xcdot partialpartial x!l[sin!l(tfracxyr)r]
Como partial(x)/partial x = 1 e
partialpartial x!l[sin!l(tfracxyr)r] = cos!l(xyr)cdot partialpartial x!l(xyr) = 1ycos!l(xyr),
fica
partial zpartial x = sin!l(xyr) + xycos!l(xyr)

Passo 3

Agora calculamos partial z/partial y, considerando x constante e usando a cadeia:
partial zpartial y = xcdot partialpartial y!l[sin!l(tfracxyr)r] = xcdot cos!l(xyr)cdot partialpartial y!l(xyr)
Como
partialpartial y!l(xyr) = -xy^2,
segue que
partial zpartial y = -,x^2y^2cos!l(xyr)

Passo 4

Formamos a combinação
x,partial zpartial x + y,partial zpartial y = xl[sin!l(tfracxyr) + tfracxycos!l(tfracxyr)r] + yl[-tfracx^2y^2cos!l(tfracxyr)r]
Distribuindo e simplificando os termos com cos(x/y), obtemos
xsin!l(xyr) + x^2ycos!l(xyr) - x^2ycos!l(xyr) = xsin!l(xyr)

Passo 5

Como xsin(x/y)=z, concluímos que
x,partial zpartial x + y,partial zpartial y = z

Resposta

x partial zpartial x + y partial zpartial y = z

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