Calcule partial^2 fpartial x partial y dos seguintes campos escalares:
f(x, y)=ln (x^2+y^2), (x, y) neq(0,0),

Passo 1

Enunciado: calcular a derivada mista partial^2fpartial xpartial y para a função escalar f(x,y)=ln(x^2+y^2), que é um problema de derivadas parciais de segunda ordem e requer a aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, derivamos f em relação a x. Usando a regra da cadeia para f=ln(g) com g(x,y)=x^2+y^2, temos gx=2x. Portanto:
fx=gxg=2xx^2+y^2

Passo 3

Em seguida, derivamos fx em relação a y para obter fxy. Note que em 2xx^2+y^2 o fator 2x é constante em y e aplicamos ddy(x^2+y^2)^-1=-2y(x^2+y^2)^-2. Assim:
fxy=2xcdotl(-2y(x^2+y^2)^-2r)=-4xy(x^2+y^2)^2

Resposta

-\frac{4xy}{(x2+y2)^2}

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