Dados vetores u, v, w, x in R^3 e constantes a, b in R, mostre que:
(identidade de Jacobi) u times v times w+w times u times v+v times w times u=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que utimes(vtimesw)+wtimes(utimesv)+vtimes(wtimesu)=0. O conteúdo é produto vetorial e vamos precisar da identidade do triplo produto vetorial.

Passo 2

A identidade do triplo produto vetorial diz que, para quaisquer vetores a,b,c, vale
atimes(btimesc)=b,(acdotc)-c,(acdotb)

Passo 3

Aplicando essa identidade em cada termo, obtemos:
utimes(vtimesw)=v(ucdotw)-w(ucdotv),
wtimes(utimesv)=u(wcdotv)-v(wcdotu),
vtimes(wtimesu)=w(vcdotu)-u(vcdotw)

Passo 4

Somando as três expressões e usando a comutatividade do produto escalar ( acdotb=bcdota), cada coeficiente de u,v,w se anula, mostrando que a soma total é o vetor nulo.

Resposta

0

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