Dados vetores u, v, w, x in R^3 e constantes a, b in R, mostre que:
(u times v) cdot(w times x)=(u cdot w)(v cdot x)-(u cdot x)(v cdot w)

Passo 1

A questão nos dá vetores u,v,w,xinR^3 e pede para mostrar a identidade
(utimesv)cdot(wtimesx)=(ucdotw)(vcdotx)-(ucdotx)(vcdotw)
O conteúdo envolve propriedades do produto vetorial, produto escalar e, em especial, o produto misto e a identidade do produto vetorial duplo.

Passo 2

Sabendo que o produto misto é invariante por permutações cíclicas, podemos escrever
(utimesv)cdot(wtimesx)=xcdotl((utimesv)timeswr)

Passo 3

Aplicamos agora a identidade vetorial de produto vetorial duplo (também chamada de “BAC–CAB”):
(utimesv)timesw=v(ucdotw)-u(vcdotw)

Passo 4

Fazendo o produto escalar com x e usando a distributividade do escalar sobre soma, obtemos
xcdotl((utimesv)timeswr)=(ucdotw)(vcdotx)-(vcdotw)(ucdotx)
Comparando com o resultado do passo anterior, chega-se exatamente à identidade pedida.

Resposta

(utimesv)cdot(wtimesx)=(ucdotw)(vcdotx)-(ucdotx)(vcdotw).

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