Calcule partial^2 fpartial x partial y dos seguintes campos escalares:
f(x, y)=atan(y / x), x neq 0.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de partial^2 fpartial x partial y para f(x,y)=atan(y/x). Vamos usar derivadas parciais, regra da cadeia e, em seguida, a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro calculamos fy=partial fpartial y. Defina v=yx. Então
fy = ddvl(atan(v)r)cdotpartial vpartial y = 11+v^2cdot1x,, onde v=y/x. Substituindo,
fy = 11+(y/x)^2cdot1x = 1x^2+y^2x^2cdot1x = x^2x^2+y^2cdot1x = xx^2+y^2,

Passo 3

Agora calculamos fxy=partialpartial x(fy). Usamos a regra do quociente em
fy = xx^2+y^2,, com numerador N=x e denominador D=x^2+y^2. Temos N'=1 e D'=2x, logo
fxy = N',D - N,D'D^2 = 1cdot(x^2+y^2) - xcdot 2x(x^2+y^2)^2 = x^2+y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2,

Resposta

partial^2 fpartial x partial y = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2

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