Calcule partial fpartial u(pi2, pi2, 2), sendo f(x, y, z)=x y z e u o versor da direção e sentido de a=3 i-j+2 k.

Passo 1

Temos a função f(x,y,z)=xyz e queremos calcular a derivada direcional de f no ponto l(tfracpi2,tfracpi2,2r) na direção do versor de vec a=3vec i-vec j+2vec k. Vamos precisar do gradiente de f e do versor vec u na direção de vec a.
A fórmula da derivada direcional na direção do versor vec u é partial fpartial vec u=nabla fcdotvec u, onde nabla f é o gradiente de f.

Passo 2

Calcular o gradiente de f:
nabla f(x,y,z)=l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr)=(yz,,xz,,xy)
Avaliar o gradiente no ponto dado:
nabla fl(tfracpi2,tfracpi2,2r)=l((tfracpi2cdot2),,(tfracpi2cdot2),,(tfracpi2cdottfracpi2)r)=(pi,,pi,,tfracpi^24)

Passo 3

Determinar o versor na direção de vec a: o módulo de vec a é
|vec a|=raiz3^2+(-1)^2+2^2=raiz14,
e portanto
vec u=vec a|vec a|=1raiz14(3,-1,2)

Passo 4

Calcular a derivada direcional fazendo o produto escalar:
nabla fcdotvec u=(pi,pi,tfracpi^24)cdot1raiz14(3,-1,2) =1raiz14l(3pi-pi+tfracpi^22r) =2pi+tfracpi^22raiz14 =pi^2+4pi2raiz14

Resposta

tfracpi^2+4pi2raiz14

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