Encontrar a derivada direcional do campo vetorial dado, no ponto e direçảo indicados.
; na direção da semi-reta
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional do campo vetorial
no ponto
na direção da semi-reta
,
. O conteúdo é derivada direcional de campo vetorial, e vamos precisar usar o Jacobiano (ou gradientes das componentes) e um vetor unitário na direção dada.
Passo 2
Para achar a direção, observe que a reta
aponta segundo o vetor
. Calculamos a norma de
e obtemos o vetor unitário:
$|\vec v|=\sqrt{12+22}=\sqrt5$
$\vec u=\frac{\vec v}{|\vec v|}=\Bigl(\frac1{\sqrt5},\frac2{\sqrt5}\Bigr).$
$|\vec v|=\sqrt{12+22}=\sqrt5$
$\vec u=\frac{\vec v}{|\vec v|}=\Bigl(\frac1{\sqrt5},\frac2{\sqrt5}\Bigr).$
Passo 3
Precisamos das derivadas parciais de cada componente de
, onde
e
. Calculamos:
,
,
e
.
Passo 4
A derivada direcional de
em
na direção
é dada por
. No ponto
as derivadas não mudam, então:
- Para a componente
: e . - Para a componente
: e .