Encontrar a derivada direcional do campo vetorial dado, no ponto e direçảo indicados.
f(x, y)=-y i+x j ; P0(2,1); na direção da semi-reta y=2 x, x>0

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional do campo vetorial vec f(x,y) = -y,vec i + x,vec j no ponto P0(2,1) na direção da semi-reta y = 2x, x>0. O conteúdo é derivada direcional de campo vetorial, e vamos precisar usar o Jacobiano (ou gradientes das componentes) e um vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Para achar a direção, observe que a reta y=2x aponta segundo o vetor vec v=(1,2). Calculamos a norma de vec v e obtemos o vetor unitário:
$|\vec v|=\sqrt{12+22}=\sqrt5$
$\vec u=\frac{\vec v}{|\vec v|}=\Bigl(\frac1{\sqrt5},\frac2{\sqrt5}\Bigr).$

Passo 3

Precisamos das derivadas parciais de cada componente de vec f=(f1,f2), onde f1(x,y)=-y e f2(x,y)=x. Calculamos: partial f1/partial x=0, partial f1/partial y=-1, partial f2/partial x=1 e partial f2/partial y=0.

Passo 4

A derivada direcional de vec f em P0 na direção vec u é dada por Dvec uvec f=(nabla f1cdotvec u),vec i+(nabla f2cdotvec u),vec j. No ponto (2,1) as derivadas não mudam, então:
  • Para a componente f1: nabla f1=(0,-1) e nabla f1cdotvec u=0cdottfrac1raiz5+(-1)cdottfrac2raiz5=-tfrac2raiz5.
  • Para a componente f2: nabla f2=(1,0) e nabla f2cdotvec u=1cdottfrac1raiz5+0cdottfrac2raiz5=tfrac1raiz5.

Resposta

-tfrac2raiz5,vec i + tfrac1raiz5,vec j

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