Encontrar a derivada direcional do campo vetorial dado, no ponto e direçảo indicados.
f(x, y, z)=(x^2, y^2, z^2) ; P0(1,1,1); na direção do vetor a=i+j+k

Passo 1

Resumo do problema: temos o campo vetorial vec f(x,y,z) = (x^2, y^2, z^2), queremos a derivada direcional no ponto P0(1,1,1) na direção de vec a = vec i + vec j + vec k. O conteúdo principal é derivada direcional de campo vetorial e vamos usar a matriz jacobiana e o vetor unitário da direção.

Passo 2

Para derivada direcional, primeiro normalizamos o vetor de direção. O vetor dado é vec a = (1,1,1) e sua norma é |vec a| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3. Logo, o vetor unitário é vec u = vec a|vec a| = l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r).
Como vec f é um campo vetorial, sua derivada direcional em vec u no ponto P0 é dada por Dvec uvec f(P0) = Jf(P0) cdot vec u, onde Jf é a matriz jacobiana de vec f.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de cada componente. Para f1(x,y,z)=x^2 temos partial f1/partial x=2x, partial f1/partial y=0, partial f1/partial z=0. De modo similar para f2=y^2 e f3=z^2. Assim,

Passo 4

Agora avaliamos em P0(1,1,1) e multiplicamos por vec u:

Resposta

(2/raiz3,2/raiz3,2/raiz3)

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