Calcule partial fpartial u(x0, y0), sendo dados:
d) f(x, y)=x y,(x0, y0)=(1,1) e u o versor de imath+jmath

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função partial fpartial u(x0, y0) = nabla f(x0, y0) cdot uunitário em uma direção é dada pelo produto escalar do gradiente de nesse ponto com o vetor unitário na direção de . Ou seja:
á

Passo 3

Então, precisamos encontrar o gradiente de nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável:
partial fpartial x = y e partial fpartial y = x
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto nabla f(1, 1) = (1, 1) :

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de |u| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 . Para isso, calculamos o módulo de uunitário = ( 1raiz2, 1raiz2 ) :
Então, o vetor unitário é:
á

Passo 6

Por fim, calculamos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:
partial fpartial u(1, 1) = (1, 1) cdot ( 1raiz2, 1raiz2 ) = 1raiz2 + 1raiz2 = 2raiz2 = raiz2

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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