circledast Dada as equações paramétricas
x = 3 t^2 e y = 4 t^3
encontre y'(x) e y''(x) sem eliminar o parâmetro t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas equações paramétricas: e . A tarefa é encontrar as derivadas primeira ( ) e segunda ( ) de em relação a sem eliminar o parâmetro . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de derivadas paramétricas, que nos ajuda a relacionar as mudanças em e através de .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a . Essas derivadas nos dizem como e estão mudando conforme varia.
Calculando:

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usamos a regra da cadeia que relaciona as derivadas em termos de :
Então, .

Passo 4

Para encontrar a segunda derivada, , precisamos derivar em relação a . Mas como está em termos de , usamos novamente a regra da cadeia:
Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, dividimos essa derivada pela derivada de em relação a :
Então, .

Resposta

As derivadas solicitadas são:

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