circledast Dado que uma equação vetorial de uma curva C é
sigma(t) = 2t i + (t^2 - 1) j
(a) Encontre o vetor tangente unitário, a curvatura e o raio de curvatura em t = 1.
(b) Faça um esboço de parte da curva, do vetor tangente unitário e da circunferência de curvatura em t = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela equação vetorial . A parte (a) pede para encontrar o vetor tangente unitário, a curvatura e o raio de curvatura no ponto onde .
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores para achar o vetor tangente e as fórmulas de curvatura para determinar a curvatura e o raio de curvatura. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva. O vetor tangente é dado pela derivada da função posição em relação a .
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário. Para isso, precisamos normalizar o vetor tangente, ou seja, dividir o vetor tangente pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Vamos agora encontrar a curvatura da curva no ponto . A fórmula da curvatura para uma curva vetorial é:
Primeiro, encontramos a segunda derivada de :
Como estamos em duas dimensões, o produto vetorial simplifica para:
Agora, já sabemos que . Então:
Substituindo :

Passo 5

Por último, o raio de curvatura é o inverso da curvatura:

Resposta

No ponto onde :
  • O vetor tangente unitário é .
  • A curvatura é aproximadamente .
  • O raio de curvatura é aproximadamente .

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