Calcule partial fpartial x para f=integral0^x y v(t) d t. ( y constante?). (Rpta. fx=partial(x y)partial x v(x y)=y v(x y) ).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=integral0^x,yv(t),dt
e pede a derivada parcial de f em relação a x, tratando y como constante. Para resolver, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Defina a função auxiliar
g(x)=x,y
Assim podemos escrever
f(x,y)=integral0^g(x)v(t),dt
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral em que o limite superior depende de x é o integrando avaliado no limite vezes a derivada desse limite. Logo,
partial fpartial x =vl(g(x)r),d gd x

Passo 3

Calculemos a derivada de g(x) em relação a x. Como g(x)=x,y e y é constante, temos
d gd x=y

Passo 4

Substituindo em
partial fpartial x =vl(g(x)r),d gd x,
obtemos
partial fpartial x =vl(x,yr),y =y,v(x,y)

Resposta

partial fpartial x=y,v(x,y)

Exercícios relacionados