Em termos de v, calcule fx e fy para f(x, y)=integralx^y v(t) d t. Primeiro varía x. Depois varie y.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=integralx^yv(t),dt
e pede as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de Leibniz para integrais com limites variáveis.

Passo 2

Para variar x (limite inferior), aplicamos
partialpartial xintegralx^yv(t),dt =-v(x),
pois derivar em relação ao limite inferior inverte o sinal da integrand avaliada nesse ponto.

Passo 3

Para variar y (limite superior), aplicamos
partialpartial yintegralx^yv(t),dt = v(y),
pois derivar em relação ao limite superior dá diretamente a integrand avaliada nesse ponto.

Resposta

fx(x,y) = -,v(x), fy(x,y) = v(y)

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