Calcule
e
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = \ln(x y) $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso envolve o conteúdo de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e aplicar as regras de derivação para funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(x, y) = \ln(x y) $ de uma forma que facilite a derivação. Usando propriedades dos logaritmos, sabemos que:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é representada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Como $ \ln(y) $ não depende de $ x $, a derivada dessa parte será zero. Assim, derivamos apenas $ \ln(x) $ em relação a $ x $.
Sabemos que a derivada de $ \ln(x) $ em relação a $ x $ é:
Portanto:
Passo 4
Da mesma forma, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que é representada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, $ \ln(x) $ não depende de $ y $, então sua derivada será zero. Derivamos apenas $ \ln(y) $ em relação a $ y $.
A derivada de $ \ln(y) $ em relação a $ y $ é:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais são: