Use o teste da razão para verificar se as series convergem absolutamente ou diverge
sumn=1^infty (-1)^n+1 5^nn 4^n

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série alternada sumn=1^infty(-1)^n+15^nn,4^n. O objetivo é usar o teste da razão para verificar se ela converge absolutamente ou diverge.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão em valor absoluto, definimos an=5^nn,4^n=(5/4)^nn. Assim estamos analisando a série sum|an|.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos: an+1an=(5/4)^n+1/(n+1)(5/4)^n/n=54cdotnn+1.
Tomamos o limite quando ntoinfty: L=limntoinfty54cdotnn+1=54>1. Pelo teste da razão, se L>1 então sum|an| diverge.

Passo 4

Conclusão sobre a série original: como não converge absolutamente e ainda annotto0 (pois (5/4)^n/ntoinfty), a série alternada também diverge.

Resposta

A série não converge absolutamente (L = 5/4 > 1) e, como os termos não tendem a zero, diverge.

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