Use o teste da integral para estudar a convergência de sumn=1^infty 1n(ln (n))^1 / 4.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty 1n(ln n)^1/4 usando o teste da integral. Como ln1=0 gera divisão por zero, consideramos a soma a partir de n=2; remover um número finito de termos não afeta a convergência. O conteúdo é o teste da integral, que exige analisar a integral imprópria da função associada f(x)=1/[x(ln x)^1/4].

Passo 2

Para aplicar o teste da integral, verificamos que para x>1 a função f(x)=1x(ln x)^1/4 é positiva e contínua. Calculando a derivada:
f'(x)= -(ln x)^-1/4x^2 - 14(ln x)^-5/4x^2 = -(ln x)^-5/4x^2l(ln x + tfrac14r) <0
Como ln x>0 para x>1, temos f'(x)<0, ou seja, f é decrescente para x>1.

Passo 3

Montamos a integral imprópria correspondente:
integral2^infty dxx(ln x)^1/4
Fazemos a mudança de variável t=ln x, de modo que dt=dx/x. Quando x=2, t=ln2, e quando xtoinfty, ttoinfty. A integral vira
integralln2^infty t^-1/4,dt

Passo 4

Agora calculamos a integral de t^-1/4:
integral t^-1/4,dt = t^3/43/4 = 43,t^3/4
Avaliando de t=ln2 até ttoinfty
limTtoinfty 43T^3/4 - 43(ln2)^3/4 = infty
Logo, a integral imprópria diverge.

Passo 5

Pelo teste da integral, se a integral associada diverge, então a série sumn=2^infty 1n(ln n)^1/4 também diverge. Como retiramos apenas o termo inicial n=1, a conclusão vale para a série original.

Resposta

A série diverge.

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