Calcule
e prove que
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=4x senh y+3y cosh x
e provar que as derivadas mistas são iguais. O conteúdo envolve derivadas parciais, regras de derivação de funções hiperbólicas e teorema de Clairaut.
f(x,y)=4x senh y+3y cosh x
e provar que as derivadas mistas são iguais. O conteúdo envolve derivadas parciais, regras de derivação de funções hiperbólicas e teorema de Clairaut.
Passo 2
Primeiro vamos obter as derivadas parciais de primeira ordem:
Para x: a derivada de 4x senh y em relação a x é 4 senh y (pois senh y é constante) e a de 3y cosh x é 3y sinh x.
Portanto,
Para x: a derivada de 4x senh y em relação a x é 4 senh y (pois senh y é constante) e a de 3y cosh x é 3y sinh x.
Portanto,
Para y: a derivada de 4x senh y em relação a y é 4x cosh y e a de 3y cosh x é 3 cosh x (pois cosh x é constante). Então
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem:
Para , derivamos
em relação a x. O termo 4 senh y some e 3y sinh x dá 3y cosh x:
Para
Para
, derivamos
em relação a y. O termo 3 cosh x some e 4x cosh y dá 4x sinh y:
Passo 4
Para mostrar que as derivadas mistas são iguais, derivamos
em relação a y e
em relação a x:
Como as duas expressões coincidem, provamos que
pelo teorema de Clairaut.