Calcule partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2 e prove que partial^2 fpartial x partial y=partial^2 fpartial y partial x, onde
f(x, y)=4 x senh y+3 y cosh x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=4x senh y+3y cosh x
e provar que as derivadas mistas são iguais. O conteúdo envolve derivadas parciais, regras de derivação de funções hiperbólicas e teorema de Clairaut.

Passo 2

Primeiro vamos obter as derivadas parciais de primeira ordem:
Para x: a derivada de 4x senh y em relação a x é 4 senh y (pois senh y é constante) e a de 3y cosh x é 3y sinh x.
Portanto,
partial fpartial x=4,senhy+3y,sinh x
Para y: a derivada de 4x senh y em relação a y é 4x cosh y e a de 3y cosh x é 3 cosh x (pois cosh x é constante). Então
partial fpartial y=4x,cosh y+3,cosh x

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem:
Para partial^2 fpartial x^2, derivamos partial fpartial x=4,senhy+3y,sinh x em relação a x. O termo 4 senh y some e 3y sinh x dá 3y cosh x:
partial^2 fpartial x^2=3y,cosh x
Para partial^2 fpartial y^2, derivamos partial fpartial y=4x,cosh y+3,cosh x em relação a y. O termo 3 cosh x some e 4x cosh y dá 4x sinh y:
partial^2 fpartial y^2=4x,sinh y

Passo 4

Para mostrar que as derivadas mistas são iguais, derivamos partial fpartial x em relação a y e partial fpartial y em relação a x:
partial^2 fpartial ypartial x=partialpartial yl(4,senhy+3y,sinh xr)=4,cosh y+3,sinh x,
partial^2 fpartial xpartial y=partialpartial xl(4x,cosh y+3,cosh xr)=4,cosh y+3,sinh x
Como as duas expressões coincidem, provamos que
partial^2 fpartial ypartial x=partial^2 fpartial xpartial y pelo teorema de Clairaut.

Resposta

partial^2 fpartial x^2=3y,cosh x,partial^2 fpartial y^2=4x,sinh y,epartial^2 fpartial xpartial y=partial^2 fpartial ypartial x=4,cosh y+3,sinh x

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