Seja
o disco unitário de raio
na origem. Calcular
mediante uma mudança de variáveis a coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla de $ e{x2 + y^2} $ sobre o disco unitário $ D $ de raio $ r $ na origem. Vamos usar coordenadas polares para simplificar a resolução. Para isso, precisamos entender como converter coordenadas cartesianas (
) para polares (
) e como ajustar a integral dupla nesse novo sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, as relações são:
E o elemento de área $ dx , dy $ se transforma em $ r , dr , d\theta $.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função $ e{x2 + y^2} $ usando coordenadas polares. Substituindo $ x $ e $ y $:
Sabemos que $ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 $, então:
Passo 4
Agora, vamos ajustar os limites de integração para coordenadas polares. Como estamos integrando sobre o disco unitário de raio $ r $, $ r $ varia de 0 a 1 e $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $. Portanto, a integral se torna:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
Para integrar isso, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = r^2 $, então $ du = 2r , dr $ ou $ \frac{du}{2} = r , dr $. Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos substituir o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \pi (e - 1) $.