Seja D o disco unitário de raio r na origem. Calcular integral duplaD e^x 2+y 2 d x d y mediante uma mudança de variáveis a coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla de $ e{x2 + y^2} $ sobre o disco unitário $ D $ de raio $ r $ na origem. Vamos usar coordenadas polares para simplificar a resolução. Para isso, precisamos entender como converter coordenadas cartesianas ( e^x^2 + y^2 ) para polares ( D ) e como ajustar a integral dupla nesse novo sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, as relações são:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
E o elemento de área $ dx , dy $ se transforma em $ r , dr , d\theta $.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função $ e{x2 + y^2} $ usando coordenadas polares. Substituindo $ x $ e $ y $:
e^x^2 + y^2
Sabemos que $ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 $, então:
x

Passo 4

Agora, vamos ajustar os limites de integração para coordenadas polares. Como estamos integrando sobre o disco unitário de raio $ r $, $ r $ varia de 0 a 1 e $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $. Portanto, a integral se torna:
r

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
r
Para integrar isso, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = r^2 $, então $ du = 2r , dr $ ou $ \frac{du}{2} = r , dr $. Assim, a integral fica:
integral0^1 e^r^2 cdot r , dr

Passo 6

Agora, vamos substituir o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi 12 (e - 1) , dtheta = 12 (e - 1) integral0^2pi dtheta = 12 (e - 1) cdot 2pi = pi (e - 1)

Resposta

O valor da integral dupla é $ \pi (e - 1) $.

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