Calcule partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) para as funções abaixo:
f(x, y)=x integraly^x sin (t^2) d t

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=xintegraly^xsinl(t^2r),dt
O conteúdo é calcular derivada de produto e usar a regra de Leibniz (Teorema Fundamental do Cálculo) para integrar com limites que dependem de x ou y.

Passo 2

Definimos
F(x,y)=integraly^xsinl(t^2r),dt,
de modo que f(x,y)=x,F(x,y). Pela regra do produto,
partial fpartial x =F(x,y)+xpartial Fpartial x

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, ao derivar F em relação a x (limite superior variável) temos
partialpartial xintegraly^xsinl(t^2r),dt =sinl(x^2r)
Logo
partial fpartial x =integraly^xsinl(t^2r),dt + x,sinl(x^2r)

Passo 4

Para a derivada em y, o limite inferior é variável e vem com sinal negativo:
partialpartial yintegraly^xsinl(t^2r),dt =-sinl(y^2r)
Como partial fpartial y=x,partial Fpartial y, temos
partial fpartial y =-,x,sinl(y^2r)

Resposta

partial fpartial x(x,y) =integraly^xsinl(t^2r),dt + x,sinl(x^2r), partial fpartial y(x,y) =-,x,sinl(y^2r)

Exercícios relacionados