Determine uma função f(x, y) tal que
l partial fpartial x=4 y^2-2 y cos (x y) partial fpartial y=8 x y-2 x cos (x y)+8

Passo 1

O enunciado dá as derivadas parciais
partial fpartial x=4y^2-2ycos(xy), partial fpartial y=8xy-2xcos(xy)+8
e pede uma função f(x,y) cuja gradient seja esse. O conteúdo envolvido é encontrar uma potencial para um campo gradiente, integrando uma das parciais e ajustando por função de integração.

Passo 2

Integramos partial f/partial x em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y) =integrall(4y^2-2ycos(xy)r),dx =4y^2x-2yintegralcos(xy),dx
Como integralcos(xy),dx=tfrac1ysin(xy), obtemos
f(x,y)=4xy^2-2sin(xy)+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 3

Calculamos partial f/partial y a partir da expressão obtida:
partial fpartial y =partialpartial yl(4xy^2r) -partialpartial yl(2sin(xy)r) +g'(y) =8xy-2xcos(xy)+g'(y)
Comparando com a derivada dada 8xy-2xcos(xy)+8, vemos que
g'(y)=8 Rightarrow g(y)=8y+C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A família de soluções é
f(x,y)=4xy^2-2sin(xy)+8y+C,
onde C é constante.

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