Calcule partial hpartial x(pi, 1) e partial hpartial y(pi, 1), sendo h(x, y)=cos (2 x y)+x ln (y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de uma função em relação a e no ponto . Isso está na área de Cálculo Diferencial, especificamente em derivadas parciais. Para isso, vamos precisar da regra da cadeia e das derivadas básicas de funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é composta por duas partes: e . Vamos derivar cada uma separadamente em relação a .

Passo 3

Começando com partialpartial x cos(2xy) = -sin(2xy) cdot partialpartial x(2xy) :
Para derivar partialpartial x(2xy) = 2y em relação a partialpartial x cos(2xy) = -2y sin(2xy) , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então:
Agora, derivando em relação a :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos derivar partialpartial x (x ln(y)) = ln(y) em relação a .
Aqui, é considerado uma constante em relação a , então a derivada é simplesmente:

Passo 5

Juntando as duas partes, temos a derivada parcial de partial hpartial x = -2y sin(2xy) + ln(y) em relação a partial hpartial x(pi, 1) = -2(1) sin(2 cdot pi cdot 1) + ln(1) :
partial hpartial x(pi, 1) = -2 cdot 0 + 0 = 0
Agora, vamos substituir e :
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, a função tem duas partes que vamos derivar separadamente em relação a .

Passo 7

Primeiro, derivamos partialpartial y cos(2xy) = -sin(2xy) cdot partialpartial y(2xy) em relação a partialpartial y(2xy) = 2x .
Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de partialpartial y cos(2xy) = -2x sin(2xy) em relação a é , e multiplicamos pela derivada de em relação a :
Derivando em relação a :
Portanto:

Passo 8

Agora, derivamos partialpartial y (x ln(y)) = x cdot 1y em relação a .
Aqui, é considerado uma constante em relação a , então a derivada é:

Passo 9

Juntando as duas partes, temos a derivada parcial de partial hpartial y = -2x sin(2xy) + xy em relação a partial hpartial y(pi, 1) = -2pi sin(2 cdot pi cdot 1) + pi1 :
partial hpartial y(pi, 1) = -2pi cdot 0 + pi = pi
Agora, substituindo e :
Sabemos que , então:

Resposta

partial hpartial x(pi, 1) = 0 e partial hpartial y(pi, 1) = pi

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