Calcule
e
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de uma função
em relação a
e
no ponto
. Isso está na área de Cálculo Diferencial, especificamente em derivadas parciais. Para isso, vamos precisar da regra da cadeia e das derivadas básicas de funções trigonométricas e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é composta por duas partes:
e
. Vamos derivar cada uma separadamente em relação a
.
Passo 3
Começando com
:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Então:
Agora, derivando
em relação a
:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
.
Aqui,
é considerado uma constante em relação a
, então a derivada é simplesmente:
Passo 5
Juntando as duas partes, temos a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, vamos substituir
e
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, a função
tem duas partes que vamos derivar separadamente em relação a
.
Passo 7
Primeiro, derivamos
em relação a
.
Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Portanto:
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
.
Aqui,
é considerado uma constante em relação a
, então a derivada é:
Passo 9
Juntando as duas partes, temos a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, substituindo
e
:
Sabemos que
, então: