RESOLVA EXATAMENTE 1 EXERCICIO ENTRE 5) e 6)
Considere a curva: x t g(y)+x y^2+2 x=2. Sabendo que a variável y depende da variável x, isto é y= y(x), utilize diferenciação implicita, a regra da cadeia e a regra do produto para:
a) Calcular y^prime(x). Dica: Lembre-se que sec (0)=1
b) Encontrar a equação da reta tangente a essa curva em (1,0).

Passo 1

Temos a curva xtan(y)+x y^2+2x=2, em que y=y(x). O conteúdo envolvido é diferenciação implícita, usando regra do produto e regra da cadeia, para encontrar y' e depois a reta tangente em (1,0).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddxl[xtan(y)r]+ddxl[x y^2r]+ddxl[2xr]=ddx[2]=0
Usando regra do produto e cadeia:
ddx[xtan(y)] = tan(y) + xsec^2(y),y',
ddx[x y^2] = y^2 + 2x y,y',
ddx[2x] = 2
Somando tudo: tan(y)+xsec^2(y)y'+y^2+2xyy'+2=0

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y' e isolando-o:
y'l[xsec^2(y)+2x yr] = -l[tan(y)+y^2+2r]
Logo:
y' = -tan(y)+y^2+2xl(sec^2(y)+2yr)

Passo 4

Para encontrar a reta tangente em (1,0), avaliamos y' em x=1,y=0. Como tan(0)=0 e sec^2(0)=1, temos:
y'(1) = -0+0+21(1+0) = -2

Passo 5

A equação da reta tangente com coeficiente angular m=-2 passando por (1,0) é
y - 0 = -2(x - 1)
que simplifica para y = -2x + 2.

Resposta

a) y' = -tan(y) + y^2 + 2xl(sec^2(y) + 2yr)
b) y = -2x + 2

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