RESOLVA EXATAMENTE 1 EXERCICIO ENTRE 5) e 6)
Considere a funçào f(x)=1raizx
a) Calcule f^(5)(1).
b) Usando necessariamente um padrào na derivada, escreva, sem calcular, uma expressão para f^(50)(1).

Passo 1

A função dada é f(x)=1/√x, ou seja f(x)=x^{−1/2}. Vamos calcular a quinta derivada em x=1. O conteúdo aqui é derivação de potência, e vamos precisar usar a fórmula da derivada n-ésima de x^m.

Passo 2

Para qualquer m e n inteiro não negativo, vale:
d^ndx^nx^m=m(m-1)(m-2)cdots(m-n+1),x^m-n
Aqui m=−\tfrac12 e n=5, então
f^(5)(x)=l(-tfrac12r)l(-tfrac32r)l(-tfrac52r)l(-tfrac72r)l(-tfrac92r),x^-1/2-5
O produto dos coeficientes é
(-1/2)(-3/2)(-5/2)(-7/2)(-9/2)=-1cdot3cdot5cdot7cdot92^5=-94532
Como x^{-11/2} em x=1 vale 1, temos f^{(5)}(1)=−945/32.

Resposta

-\tfrac{945}{32}

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