Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição.
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
;
(e)
.
(f)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! A gente vai precisar entender o que é a transformada de Laplace e como aplicá-la na definição para diferentes funções. Vou te guiar passo a passo para encontrar a transformada de cada função listada nas opções (a) até (f).
Passo 2
Parte (a): $ f(t) = a t^{2} + b t + c $
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
Vamos aplicar isso na função $ f(t) = a t^{2} + b t + c $:
Sabemos que:
Então:
Agora substituímos de volta:
Passo 3
Parte (b): $ f(t) = \cos^{2}(a t) $
Para transformar $ \cos^{2}(a t) $, usamos uma identidade trigonométrica que facilita a integração:
Então:
Agora aplicamos a transformada de Laplace:
Sabemos que:
Então:
Substituindo:
Passo 4
Parte ©: $ f(t) = \sin^{2}(b t) $
Similar à parte (b), usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Aplicando a transformada de Laplace:
Como já vimos:
Substituindo:
Passo 5
Parte (d):
Aqui, a função muda de expressão no ponto $ t = 1 $. Vamos usar a propriedade da transformação de funções em partes.
Podemos escrever $ f(t) $ como:
Mas de forma mais simples, usamos a definição da transformada de Laplace:
Vamos resolver as integrais separadamente.
Primeiro, a integral de $ 0 $ a $ 1 $:
Para isso, usamos integração por partes, onde:
Assim:
Avaliado de $ 0 $ a $ 1 $:
Agora, a segunda integral de $ 1 $ a $ \infty $:
Somando as duas partes:
Simplificando:
Passo 6
Parte (e):
Aqui, a função começa em zero e passa a ser $ \cos t $ a partir de $ t = \frac{\pi}{2} $. Usamos a função degrau de Heaviside $ u(t - a) $:
A transformada de Laplace de $ f(t) = g(t) u(t - a) $ é:
Neste caso, $ g(t) = \cos t $ e $ a = \frac{\pi}{2} $.
Então:
Usando a identidade $ \cos(t + \frac{\pi}{2}) = -\sin t $:
Portanto:
Passo 7
Parte (f):
A função é zero até $ t = 2 $ e depois é $ (t - 2)^{2} $. Usamos novamente a função de Heaviside:
A transformada de Laplace para $ f(t) = (t - a)^{n} u(t - a) $ é:
Aqui, $ a = 2 $ e $ n = 2 $, então:
Resposta
A transformada de Laplace de cada função é:
a)
b)
c)
d)
e)
f)