Seja Lf(t)=F(s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição.
(a) f(t)=a t^2+b t+c;
(b) f(t)=cos ^2(a t);
© f(t)=sin ^2(b t);
(d) f(t)=llt, & 0 <= t<1 1, & t >= 1
(e) f(t)=ll0, & 0 <= t= pi2.
(f) f(t)=ll0, & 0 <= t<2 (t-2)^2, & t >= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! A gente vai precisar entender o que é a transformada de Laplace e como aplicá-la na definição para diferentes funções. Vou te guiar passo a passo para encontrar a transformada de cada função listada nas opções (a) até (f).

Passo 2

Parte (a): $ f(t) = a t^{2} + b t + c $

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t) = a t^2 + b t + c
Vamos aplicar isso na função $ f(t) = a t^{2} + b t + c $:
f(t)
Sabemos que:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
f(t) = a t^2 + b t + c
Então:
La t^2 + b t + c = a Lt^2 + b Lt + c L1
Lt^n = n!s^n+1
L1 = 1s
Agora substituímos de volta:
Lt^2 = 2!s^3 = 2s^3

Passo 3

Parte (b): $ f(t) = \cos^{2}(a t) $

Para transformar $ \cos^{2}(a t) $, usamos uma identidade trigonométrica que facilita a integração:
f(t) = cos^2(a t)
Então:
cos^2(a t)
Agora aplicamos a transformada de Laplace:
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
Sabemos que:
f(t) = 1 + cos(2a t)2
Então:
L1 + cos(2a t)2 = 12 L1 + 12 Lcos(2a t)
Substituindo:
Lcos(omega t) = ss^2 + omega^2

Passo 4

Parte ©: $ f(t) = \sin^{2}(b t) $

Similar à parte (b), usamos a identidade trigonométrica:
f(t) = sin^2(b t)
Então:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Aplicando a transformada de Laplace:
f(t) = 1 - cos(2b t)2
Como já vimos:
L1 - cos(2b t)2 = 12 L1 - 12 Lcos(2b t)
Substituindo:
Lcos(2b t) = ss^2 + 4b^2

Passo 5

Parte (d):

f(t) = t, & 0 <= t < 1 1, & t >= 1
Aqui, a função muda de expressão no ponto $ t = 1 $. Vamos usar a propriedade da transformação de funções em partes.
Podemos escrever $ f(t) $ como:
t = 1
Mas de forma mais simples, usamos a definição da transformada de Laplace:
f(t)
Vamos resolver as integrais separadamente.
Primeiro, a integral de $ 0 $ a $ 1 $:
f(t) = t cdot u(t) + (1 - t) cdot u(t - 1)
Para isso, usamos integração por partes, onde:
Lf(t) = integral0^1 e^-st t , dt + integral1^infty e^-st cdot 1 , dt
0
Assim:
1
Avaliado de $ 0 $ a $ 1 $:
integral0^1 e^-st t , dt
Agora, a segunda integral de $ 1 $ a $ \infty $:
u = t Rightarrow du = dt
Somando as duas partes:
dv = e^-st dt Rightarrow v = -1s e^-st
Simplificando:
integral t e^-st dt = -ts e^-st + 1s integral e^-st dt = -ts e^-st - 1s^2 e^-st + C

Passo 6

Parte (e):

f(t) = 0, & 0 <= t < pi2 cos t, & t >= pi2
Aqui, a função começa em zero e passa a ser $ \cos t $ a partir de $ t = \frac{\pi}{2} $. Usamos a função degrau de Heaviside $ u(t - a) $:
cos t
A transformada de Laplace de $ f(t) = g(t) u(t - a) $ é:
t = pi2
Neste caso, $ g(t) = \cos t $ e $ a = \frac{\pi}{2} $.
Então:
u(t - a)
Usando a identidade $ \cos(t + \frac{\pi}{2}) = -\sin t $:
f(t) = cos t cdot u(t - pi2)
Portanto:
f(t) = g(t) u(t - a)

Passo 7

Parte (f):

f(t) = 0, & 0 <= t < 2 (t - 2)^2, & t >= 2
A função é zero até $ t = 2 $ e depois é $ (t - 2)^{2} $. Usamos novamente a função de Heaviside:
t = 2
A transformada de Laplace para $ f(t) = (t - a)^{n} u(t - a) $ é:
(t - 2)^2
Aqui, $ a = 2 $ e $ n = 2 $, então:
f(t) = (t - 2)^2 cdot u(t - 2)

Resposta

A transformada de Laplace de cada função é:
a) La t^2 + b t + c = 2as^3 + bs^2 + cs
b) Lcos^2(a t) = 12s + s2(s^2 + 4a^2)
c) Lsin^2(b t) = 12s - s2(s^2 + 4b^2)
d) Lllt, & 0 <= t<1 1, & t >= 1 = 1 - e^-ss^2
e) Lll0, & 0 <= t= pi2 = -e^-pi2 ss^2 + 1
f) Lll0, & 0 <= t<2 (t-2)^2, & t >= 2 = 2 e^-2 ss^3

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