Calcule partial rpartial u, partial rpartial v e partial rpartial t para r=x ln y ; x=3 u+v t ; y=u v t.

Passo 1

Temos a função r = x ln y com as variáveis definidas por x = 3u + v t e y = u v t. O conteúdo é derivada parcial de função composta, usando regra da cadeia e derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de r em relação a x e y. A derivada de x ln y em relação a x (tratando y como constante) é
partial rpartial x = ln y
e em relação a y (tratando x como constante) é
partial rpartial y = xy

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de x e y em função de u, v e t. De x = 3u + v t vem
partial xpartial u = 3, partial xpartial v = t, partial xpartial t = v
e de y = u v t vem
partial ypartial u = v t, partial ypartial v = u t, partial ypartial t = u v

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para obter partial rpartial u:
partial rpartial u = partial rpartial xpartial xpartial u + partial rpartial ypartial ypartial u = 3ln y + xy,v t
Como y = u v t, temos v ty = 1u, logo
partial rpartial u = 3ln y + xu

Passo 5

De modo semelhante, aplicamos a regra da cadeia para partial rpartial v e partial rpartial t e simplificamos usando y=uvt:
partial rpartial v = tln y + xv, partial rpartial t = vln y + xt

Resposta

partial rpartial u = 3ln y + xu, partial rpartial v = tln y + xv, partial rpartial t = vln y + xt

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